Задачи на смеси, сплавы и растворы

Задачи на смеси, сплавы и растворы пугают многих школьников словами «концентрация», «процентное содержание», «сплав меди и цинка». Но все они решаются одной идеей: масса чистого вещества при смешивании складывается.

Главная формула

Масса вещества = масса смеси × концентрация.

m_в = m · c, где c — доля (20% = 0,2).

Пример. В 300 г 15%-го раствора соли: 300 · 0,15 = 45 г соли.

Главная идея

При смешивании:

• массы смесей складываются;
• массы чистого вещества складываются;
• концентрации не складываются!

Концентрация смеси = (масса вещества) / (масса смеси).

Таблица

Для каждой смеси — строка:

• масса смеси;
• концентрация;
• масса вещества.

Плюс строка для итоговой смеси.

Пример 1. Смешивание

Смешали 200 г 10%-го раствора и 300 г 20%-го. Какова концентрация смеси?

• Вещества: 200 · 0,1 + 300 · 0,2 = 20 + 60 = 80 г.
• Масса смеси: 500 г.
• Концентрация: 80/500 = 0,16 = 16%.

Пример 2. Найти массу

Сколько граммов 30%-го раствора нужно добавить к 300 г 10%-го, чтобы получить 15%-й?

Пусть x г 30%-го.

Вещество: 0,1 · 300 + 0,3x = 0,15(300 + x).

30 + 0,3x = 45 + 0,15x → 0,15x = 15 → x = 100 г.

Проверка: (30 + 30) / 400 = 0,15 ✓.

Пример 3. Разбавление водой

Сколько воды нужно добавить к 400 г 25%-го раствора, чтобы получить 20%-й?

Вода — это раствор с концентрацией 0%. Масса вещества не меняется: 400 · 0,25 = 100 г.

100 / (400 + x) = 0,2 → 400 + x = 500 → x = 100 г воды.

Пример 4. Выпаривание

Из 500 г 10%-го раствора выпарили 100 г воды. Какова новая концентрация?

Вещество: 50 г. Масса раствора: 400 г. Концентрация: 50/400 = 12,5%.

Пример 5. Сплавы

Сплав меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы её стало 60%?

Меди было: 36 · 0,45 = 16,2 кг. Добавим x кг меди (это «сплав» со 100% меди).

(16,2 + x) / (36 + x) = 0,6 → 16,2 + x = 21,6 + 0,6x → 0,4x = 5,4 → x = 13,5 кг.

Пример 6. Задача на две неизвестные

Имеются два сплава: первый содержит 10% никеля, второй — 30%. Из них получили 200 кг сплава с 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше второго?

Пусть x — масса первого, тогда 200 − x — второго.

0,1x + 0,3(200 − x) = 0,25 · 200 → 0,1x + 60 − 0,3x = 50 → −0,2x = −10 → x = 50.

Первый — 50 кг, второй — 150 кг. Разница: 100 кг.

«Метод креста»

Быстрый способ для смешивания двух растворов. Если смешивают растворы с концентрациями c₁ и c₂ и получают c, то массы относятся как:

m₁ : m₂ = (c₂ − c) : (c − c₁).

Для примера 6: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15 = 1 : 3. Значит, 50 и 150 ✓.

Типичные ошибки

• Складывают концентрации: 10% + 20% = 30% — абсурд.
• Проценты не переведены в доли.
• При разбавлении меняют массу вещества — а она не меняется.
• Забывают, что вода — 0%, чистое вещество — 100%.

Где пригодится

• Задание 21 ОГЭ.
• Задание 10 профильного ЕГЭ.
• Химия — растворы, массовая доля.

Задачи на смеси решаются по одной схеме. Репетиторы по математике в «Котангенсе» учат применять её к любым формулировкам. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.