Задание 21 ОГЭ по математике: текстовые задачи на движение, работу и смеси

Задание 21 ОГЭ по математике — текстовая задача с развёрнутым решением, до 2 баллов. Самые частые сюжеты: движение (по реке, навстречу, вдогонку), совместная работа, проценты, смеси и сплавы.

Если ребёнок умеет решать уравнения из задания 9 и 20, главная трудность здесь — перевести текст в уравнение. Этому можно научиться по одной схеме.

Общая схема

1. Обозначьте неизвестное буквой x. Обычно это то, что спрашивают, но иногда удобнее обозначить другую величину.
2. Составьте таблицу с тремя столбцами: для движения — скорость, время, расстояние; для работы — производительность, время, работа.
3. Найдите, что равно чему. В задаче всегда есть фраза, которая даёт уравнение: «на 2 часа раньше», «всего прошли 60 км», «вместе выполнили за 6 дней».
4. Решите уравнение и проверьте, что ответ подходит по смыслу (скорость положительная, время разумное).

Задача на движение по реке

Моторная лодка прошла 36 км против течения и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Пусть x км/ч — скорость лодки в стоячей воде.

• Против течения — скорость: x − 3; время: 36/(x − 3); расстояние: 36
• По течению — скорость: x + 3; время: 36/(x + 3); расстояние: 36

Против течения времени уходит на 3 часа больше:

36/(x − 3) − 36/(x + 3) = 3.

Умножаем на (x − 3)(x + 3):

36(x + 3) − 36(x − 3) = 3(x² − 9) → 216 = 3x² − 27 → x² = 81 → x = 9 (скорость положительна, а x = −9 не подходит).

Проверка: против течения 36/6 = 6 ч, по течению 36/12 = 3 ч, разница 3 ч. Верно.

Ответ: 9 км/ч.

Задача на работу

Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Первая труба одна наполняет его на 5 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?

Всю работу примем за 1. Пусть вторая труба наполняет бассейн за x часов, тогда первая — за x − 5.

Производительности: 1/x и 1/(x − 5). Вместе — 1/6.

1/x + 1/(x − 5) = 1/6.

Умножаем на 6x(x − 5): 6(x − 5) + 6x = x(x − 5) → 12x − 30 = x² − 5x → x² − 17x + 30 = 0 → x = 15 или x = 2.

x = 2 не подходит: тогда первая труба наполняла бы бассейн за −3 часа. Ответ: 15 часов.

Задача на смеси

Смешали 30%-й и 60%-й растворы кислоты и получили 600 г 40%-го раствора. Сколько граммов 30%-го раствора взяли?

Пусть x г — масса 30%-го раствора, тогда 600 − x — масса 60%-го.

Кислоты: 0,3x + 0,6(600 − x) = 0,4 · 600 → 0,3x + 360 − 0,6x = 240 → −0,3x = −120 → x = 400.

Ответ: 400 г.

Как оформить решение на 2 балла

• Запишите, что обозначили за x, с единицами измерения.
• Покажите, откуда взялось уравнение (таблица или пара фраз).
• Решите уравнение полностью.
• Объясните, почему отбрасываете лишний корень.
• Запишите ответ на вопрос задачи, а не просто «x = 9». Если спрашивали время второй трубы, а x — это время первой, нужно дописать вычисление.

Типичные ошибки

• Перепутали «быстрее» и «больше времени». Быстрее — значит меньше времени.
• Не учли течение или учли с неправильным знаком.
• Не перевели единицы: минуты и часы, граммы и килограммы.
• Не отбросили посторонний корень или отбросили без объяснения.
• Ответили не на тот вопрос.

Как подготовиться

1. Решите по 5 задач каждого типа с таблицей — даже если кажется, что таблица не нужна.
2. После каждой задачи делайте проверку подстановкой в условие.
3. Переходите к заданиям 21 из открытого банка ФИПИ.

Текстовые задачи — то, что пугает больше всего, и одновременно то, что лучше всего поддаётся тренировке. Через 20–30 разобранных задач схема становится автоматической. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт с ребёнком все типы задач и научит оформлять их по критериям. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.