Задание 24 ОГЭ по математике: задача на доказательство

Задание 24 ОГЭ по математике — геометрическая задача на доказательство, до 2 баллов. Многие школьники пропускают его не глядя: «доказательства — это не моё». Но задачи 24 обычно короче и проще, чем кажется. Часто всё доказательство — 4–5 строчек с опорой на признаки равенства треугольников или свойства параллелограмма.

Что обычно просят доказать

• Что два треугольника равны.
• Что два отрезка или угла равны.
• Что четырёхугольник — параллелограмм (ромб, прямоугольник).
• Что точка лежит на биссектрисе, середине отрезка, окружности.
• Что треугольники подобны.

Главные инструменты

1. Признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам.
2. Признаки подобия: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам.
3. Свойства параллельных прямых: накрест лежащие и соответственные углы равны.
4. Свойства параллелограмма и его признаки.
5. Вертикальные углы равны.
6. Свойства окружности: радиусы равны, вписанные углы, касательная ⊥ радиусу.

Пример 1

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники EBC и EAD.
2. EB = EA (E — середина AB).
3. BC = AD (противоположные стороны параллелограмма).
4. EC = ED (по условию).
5. Значит, треугольники EBC и EAD равны по трём сторонам.
6. Отсюда угол EBC = угол EAD, то есть угол B = угол A.
7. Но в параллелограмме угол A + угол B = 180° (соседние углы). Значит, угол A = угол B = 90°.
8. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Пример 2

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите, что AC ∥ BD.

Доказательство.

1. AO = OB, CO = OD (O — середина отрезков).
2. Угол AOC = угол BOD (вертикальные).
3. Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Значит, угол CAO = угол DBO.
5. Эти углы — накрест лежащие при прямых AC и BD и секущей AB. Раз они равны, AC ∥ BD. Что и требовалось доказать.

Пример 3

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Доказательство.

1. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми AD и BC). Значит, S(ABD) = S(ACD).
2. S(AOB) = S(ABD) − S(AOD), S(COD) = S(ACD) − S(AOD).
3. Значит, S(AOB) = S(COD). Что и требовалось доказать.

Как оформлять

• Начните с чертежа. Обозначения на нём должны совпадать с текстом.
• Каждая строка — факт + обоснование. «Угол AOC = угол BOD, так как они вертикальные».
• Явно называйте признак: «треугольники равны по трём сторонам».
• Закончите фразой: «что и требовалось доказать».
• Не опирайтесь на чертёж. Если что-то «видно», это нужно доказать.

Критерии: 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы; 1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности; 0 — в остальных случаях.

Как искать идею доказательства

1. Посмотрите, что нужно доказать. Равенство отрезков или углов → ищем равные треугольники, где эти отрезки или углы — соответствующие элементы.
2. Отметьте на чертеже всё, что дано, — одинаковыми штрихами равные отрезки, дугами равные углы.
3. Ищите параллельные прямые — они дают равные углы.
4. Ищите вертикальные углы — они почти всегда пригождаются, когда отрезки пересекаются.

Как подготовиться

1. Выучить признаки равенства и подобия треугольников наизусть — дословно.
2. Разобрать 10–15 доказательств из открытого банка ФИПИ, записывая их полностью.
3. Пробовать сначала решать самостоятельно, а потом сравнивать с образцом.

Доказательства — навык, который хорошо развивается в диалоге: преподаватель задаёт наводящие вопросы, и ученик сам находит ход. Репетиторы по математике в «Котангенсе» работают именно так — не решают за ученика, а помогают дойти до решения. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.