Задание 23 ОГЭ по математике: геометрическая задача на вычисление

Задание 23 ОГЭ по математике — геометрическая задача на вычисление с развёрнутым решением, до 2 баллов. По сложности она ближе к заданиям 15–17, но нужно не только получить ответ, а обосновать каждый шаг.

Для многих это самое доступное задание второй части по геометрии.

Частые сюжеты

• Биссектрисы в параллелограмме и трапеции. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
• Подобные треугольники. Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник. Диагонали трапеции образуют подобные треугольники.
• Прямоугольный треугольник: высота к гипотенузе, проекции катетов.
• Окружность: касательные, вписанные углы, хорды.

Пример 1. Биссектриса в параллелограмме

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

Решение.

1. Угол BAK = угол KAD (AK — биссектриса).
2. Угол KAD = угол BKA (накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AK).
3. Значит, угол BAK = угол BKA, треугольник ABK равнобедренный, AB = BK = 7.
4. BC = BK + KC = 7 + 12 = 19.
5. P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 52.

Ответ: 52.

Это одна из самых частых задач 23. Факт «биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник» стоит выучить и уметь доказывать.

Пример 2. Подобие

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N. AB = 16, AC = 20, MN = 15. Найдите AM.

1. MN ∥ AC, поэтому треугольники MBN и ABC подобны (по двум углам: угол B общий, углы BMN и BAC соответственные).
2. Коэффициент подобия: MN/AC = 15/20 = 3/4.
3. BM = 3/4 · AB = 12.
4. AM = AB − BM = 16 − 12 = 4.

Ответ: 4.

Пример 3. Трапеция и диагонали

Диагонали AC и BD трапеции ABCD (AD ∥ BC) пересекаются в точке O. BC = 6, AD = 15, AC = 28. Найдите AO.

1. Треугольники BOC и DOA подобны (углы при O вертикальные, углы OBC и ODA накрест лежащие).
2. Коэффициент подобия BC/AD = 6/15 = 2/5. Значит, OC/OA = 2/5.
3. AC = AO + OC = AO + 2/5 · AO = 7/5 · AO = 28 → AO = 20.

Ответ: 20.

Как оформлять на 2 балла

• Каждый шаг с обоснованием. Не «AB = 7», а «AB = BK = 7, так как треугольник ABK равнобедренный». Не «треугольники подобны», а «подобны по двум углам: …».
• Ссылайтесь на теоремы и свойства: «накрест лежащие углы при параллельных прямых», «признак подобия по двум углам».
• Чертёж обязателен — без него эксперту трудно проверить ход мысли.
• Ответ — отдельной строкой.

Критерии: 2 балла — ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ; 1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка; 0 — в остальных случаях.

Типичные ошибки

• Нет обоснования: «Видно из чертежа, что…» — эксперт такое не засчитает.
• Перепутаны соответствующие стороны при подобии.
• Чертёж не соответствует условию, и решение опирается на то, что «так нарисовалось».

Как подготовиться

1. Выучить 10–12 ключевых фактов: биссектриса в параллелограмме, признаки подобия, свойства трапеции, касательные.
2. Решить 20 задач 23 из открытого банка ФИПИ с полным оформлением.
3. Показать решения учителю или репетитору — именно оформление чаще всего стоит баллов.

Если геометрия даётся тяжело, начните с заданий 15–18 и только потом переходите к 23. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет выстроить этот путь и научит записывать решения так, как их ждут эксперты. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.