Задание 25 ОГЭ по математике: сложная геометрия — как подступиться

Задание 25 — последнее и самое сложное в ОГЭ по математике. Это геометрическая задача повышенного уровня на вычисление, до 2 баллов. Полностью её решает небольшая доля девятиклассников.

Нужно ли за неё браться? Если цель — тройка или четвёрка, лучше потратить время на проверку первой части и заданий 20–23. Если цель — уверенная пятёрка или профильный 10 класс, задание 25 стоит тренировать.

Какие идеи встречаются

1. Подобие треугольников — самое частое. Например, высоты треугольника отсекают треугольник, подобный исходному; хорды, пересекающиеся внутри окружности, дают подобные треугольники.

2. Свойство биссектрисы: биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон.

3. Окружности: вписанная и описанная, касательные, теорема о касательной и секущей (квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть).

4. Площади: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия; треугольники с общей высотой относятся как основания.

5. Теоремы синусов и косинусов.

Пример

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BD = 6 и DC = 9. AB = 10. Найдите AC.

По свойству биссектрисы: BD/DC = AB/AC → 6/9 = 10/AC → AC = 15.

Это «разминочный» уровень. Настоящие задачи 25 обычно требуют двух-трёх таких идей подряд.

Пример посложнее. Окружность, проходящая через вершины A и C треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M. AB = 18, BC = 12, BK = 4. Найдите BM.

Точка B лежит вне окружности, BA и BC — секущие. По теореме о двух секущих: BK · BA = BM · BC → 4 · 18 = BM · 12 → BM = 6.

Другой путь — через подобие: треугольники BKM и BCA подобны (угол B общий, угол BKM = угол BCA, так как четырёхугольник AKMC вписанный). Отсюда BK/BC = BM/BA → 4/12 = BM/18 → BM = 6.

Как получить хотя бы 1 балл

Критерии: 2 балла — ход решения верный, получен верный ответ; 1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка; 0 — в остальных случаях.

То есть 1 балл дают за правильную идею с арифметической ошибкой, а не за «половину решения». Поэтому:

• Если идея есть — доводите решение до конца, даже если не уверены в числах.
• Обосновывайте каждый шаг так же, как в задании 23.
• Если идеи нет — не тратьте на задачу больше 15–20 минут. Лучше перепроверьте первую часть.

Стратегия на экзамене

1. Решите первую часть и задания 20–23.
2. Перепроверьте первую часть.
3. Попробуйте задания 24 и 25. Начните с того, где быстрее появилась идея.
4. Перепишите решения в бланк аккуратно.

Как подготовиться

1. Уверенно решать задания 15–17 и 23 — без этого 25 не получится.
2. Изучить «продвинутые» факты: свойство биссектрисы, теоремы о касательной и секущей, отношения площадей, теорему синусов.
3. Разобрать 30–40 задач 25 из открытого банка ФИПИ и сборников. Сначала с решениями, потом самостоятельно.
4. Вести тетрадь идей: каждый новый приём выписывать с примером.

Задание 25 — хорошая подготовка к профильному ЕГЭ (задание 17 — планиметрия с доказательством). Кто научился решать 25 на ОГЭ, тому гораздо проще в 11 классе.

Самостоятельно разобраться в сложной геометрии трудно: нужен человек, который подскажет, куда смотреть на чертеже. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт задачи повышенного уровня наводящими вопросами, чтобы ученик учился находить идею сам. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.