Вписанные и центральные углы: правило и задачи

Вписанные и центральные углы — одна из самых «результативных» тем геометрии: несколько простых фактов решают большое количество задач ОГЭ (задание 16) и ЕГЭ (задание 1). Если понять одно правило (теорему о вписанном угле) и его следствия, задачи становятся быстрыми.

Определения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Например, угол AOB, где O — центр, A и B — точки окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Например, угол ACB, где A, B, C — точки окружности.

Дуга, на которую опирается угол, — часть окружности, лежащая внутри угла.

Главные факты о вписанных и центральных углах

1. Центральный угол равен дуге, на которую опирается (в градусах).

2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Отсюда: вписанный угол в 2 раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Следствия

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (90°). (Диаметр стягивает дугу 180°, половина — 90°.)

Следствие 3. Если четырёхугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов = 180°. (Они опираются на дуги, которые вместе дают 360°.)

Следствие 4. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.

Примеры

Пример 1. Центральный угол AOB = 130°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу.

ACB = 130°/2 = 65°.

Пример 2. Вписанный угол равен 35°. Найдите дугу, на которую он опирается.

Дуга = 2 · 35° = 70°.

Пример 3. AB — диаметр, C — точка на окружности, угол ABC = 28°. Найдите угол BAC.

Угол ACB = 90° (опирается на диаметр). BAC = 180° − 90° − 28° = 62°.

Пример 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A = 72°. Найдите угол C.

C = 180° − 72° = 108°.

Пример 5. Хорда AB стягивает дугу 100°. Найдите угол между касательной в точке A и хордой AB.

100°/2 = 50°.

Какую дугу брать

Хорда делит окружность на две дуги. Угол опирается на ту, что внутри угла. Если вершина вписанного угла — по одну сторону хорды, он опирается на дугу по другую сторону.

Два вписанных угла, опирающихся на одну хорду, но с вершинами по разные стороны, в сумме дают 180°.

Полезный приём: проведите радиусы

Если не видно, как решать, — проведите радиусы к точкам на окружности. Получатся равнобедренные треугольники (две стороны — радиусы), а в них равны углы при основании. Это часто даёт решение.

Типичные ошибки

• Путают вписанный и центральный углы.
• Умножают вместо деления (вписанный = центральный / 2).
• Берут не ту дугу.
• Не видят прямой угол, опирающийся на диаметр.

Как тренироваться

1. Нарисуйте окружность, отметьте центральный и вписанный углы на одну дугу. Измерьте транспортиром — убедитесь, что вписанный вдвое меньше.
2. Решите 10–15 задач на каждый факт.
3. Задания 16 ОГЭ и 1 ЕГЭ по теме.

Геометрия окружности понятна, когда видишь чертёж. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют её на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.