Подобие треугольников: признаки и типовые задачи

Подобие треугольников — одна из самых «рабочих» тем геометрии 8 класса. Разберём признаки и типовые задачи: через подобие решаются задачи ОГЭ (23, 25), ЕГЭ (1, 17), задачи по физике (оптика) и даже практические задачи вроде «найти высоту дерева по тени».

Что такое подобные треугольники

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Проще говоря — у них одинаковая форма, но разный размер, как у фотографии и её увеличенной копии.

Коэффициент подобия k — во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого.

Три признака подобия

1. По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники подобны.

Это самый используемый признак: третий угол автоматически тоже равен (сумма углов 180°).

2. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны.

3. По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Свойства подобных треугольников

• Отношение соответствующих сторон, высот, медиан, биссектрис, периметров равно k.
• Отношение площадей равно k².

Пример. Треугольники подобны с k = 3. Площадь меньшего 5. Площадь большего: 5 · 9 = 45.

Типовые конфигурации

1. Прямая, параллельная стороне

Если прямая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, она отсекает треугольник, подобный исходному (по двум углам — соответственные углы при параллельных).

Пример. В треугольнике ABC прямая MN ∥ AC, M на AB, N на BC. BM = 4, MA = 6, AC = 15. Найдите MN.

AB = 10. k = BM/BA = 4/10 = 0,4. MN = 0,4 · 15 = 6.

2. Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному и друг другу.

Отсюда полезные формулы (h — высота, a_c и b_c — проекции катетов на гипотенузу):

• h² = a_c · b_c;
• a² = c · a_c;
• b² = c · b_c.

3. Диагонали трапеции

Диагонали трапеции образуют подобные треугольники с основаниями: треугольники BOC и DOA подобны с k = BC/AD.

4. Пересекающиеся хорды

Если хорды AB и CD пересекаются в точке E, треугольники AEC и DEB подобны. Отсюда AE · EB = CE · ED.

Практическая задача

Тень от столба длиной 6 м. В то же время тень от человека ростом 1,8 м — 2,4 м. Найдите высоту столба.

Треугольники «столб — тень» и «человек — тень» подобны (солнечные лучи параллельны, оба стоят вертикально).

x / 6 = 1,8 / 2,4 → x = 6 · 0,75 = 4,5 м.

Как решать задачи на подобие

1. Найдите подобные треугольники — ищите параллельные прямые, общие углы, вертикальные углы, прямые углы.
2. Докажите подобие — назовите признак.
3. Запишите соответствие вершин — в правильном порядке! (∆ABC ~ ∆MBN — значит A ↔ M, B ↔ B, C ↔ N.)
4. Составьте пропорцию соответствующих сторон.
5. Найдите неизвестное.

Типичные ошибки

• Путают соответствующие стороны (берут не ту пару).
• Отношение площадей принимают равным k, а не k².
• Не доказывают подобие, а «видят на чертеже».
• Неправильно находят k: делят часть стороны на другую часть вместо целой стороны.

Подобие — ключ к большинству сложных геометрических задач. Если тема не понята в 8 классе, задачи 23–25 ОГЭ станут недоступны. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют подобие на чертежах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.