Задачи на движение: схема решения

Задачи на движение встречаются с 4 класса до ЕГЭ. Сюжеты меняются — пешеходы, поезда, лодки, велосипедисты, — но решаются они одной схемой. Если её понять, большинство задач перестанут пугать. Ниже — эта схема решения и разобранные примеры.

Главная формула

s = v · t

• s — расстояние,
• v — скорость,
• t — время.

Из неё: v = s/t, t = s/v.

Важно: единицы должны согласовываться. Скорость в км/ч → время в часах, расстояние в километрах. Если время дано в минутах — переведите: 20 мин = 1/3 ч.

Таблица — главный инструмент

Для каждого участника движения или каждого участка пути заполняйте строку:

• скорость;
• время;
• расстояние.

В одной ячейке — неизвестное (x), остальное выражаем через него и условие.

Движение навстречу

Скорости складываются: v_сбл = v₁ + v₂.

Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу выехали два автомобиля: 70 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

t = 300 / (70 + 80) = 2 ч.

Движение в противоположных направлениях

Скорость удаления — тоже сумма: v₁ + v₂.

Два пешехода вышли из одной точки в противоположные стороны со скоростями 4 и 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

(4 + 5) · 3 = 27 км.

Движение вдогонку

Скорости вычитаются: v_сбл = v₁ − v₂ (быстрый минус медленный).

Велосипедист выехал из посёлка со скоростью 12 км/ч. Через 2 часа за ним выехал мотоциклист со скоростью 42 км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста?

За 2 часа велосипедист уехал на 24 км. Мотоциклист догоняет со скоростью 42 − 12 = 30 км/ч. t = 24/30 = 0,8 ч = 48 мин.

Движение по реке

• По течению: v_собств + v_теч.
• Против течения: v_собств − v_теч.
• Плот (без мотора) движется со скоростью течения.

Катер прошёл 48 км по течению и вернулся обратно, затратив на весь путь 7 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Пусть x — собственная скорость. 48/(x + 2) + 48/(x − 2) = 7.

48(x − 2) + 48(x + 2) = 7(x² − 4) → 96x = 7x² − 28 → 7x² − 96x − 28 = 0.

D = 9216 + 784 = 10 000, √D = 100. x = (96 + 100)/14 = 14 (второй корень отрицательный).

Ответ: 14 км/ч.

Движение по кругу

Если два объекта стартуют из одной точки по кругу в одну сторону, быстрый «обгоняет на круг», когда пройдёт на длину круга больше.

Круговая трасса 12 км. Два велосипедиста стартовали одновременно в одну сторону со скоростями 20 и 26 км/ч. Через сколько минут быстрый впервые обгонит медленного на круг?

12 / (26 − 20) = 2 ч = 120 мин.

Средняя скорость

Средняя скорость = весь путь / всё время. Не среднее арифметическое скоростей!

Половину пути автомобиль ехал 60 км/ч, вторую — 40 км/ч. Средняя скорость?

Пусть весь путь 240 км (удобное число). Время: 120/60 + 120/40 = 2 + 3 = 5 ч. v_ср = 240/5 = 48 км/ч, а не 50.

Алгоритм

1. Нарисуйте схему: отрезок, стрелки, точки встречи.
2. Заполните таблицу.
3. Найдите условие для уравнения (равенство расстояний, разница во времени, сумма времени).
4. Решите и выберите корень по смыслу (скорость > 0, скорость против течения > 0).
5. Проверьте ответ подстановкой в условие.

Типичные ошибки

• Единицы: минуты вместо часов.
• Средняя скорость как среднее арифметическое.
• Против течения — забывают вычесть скорость течения.
• Вдогонку — складывают скорости вместо вычитания.

Задачи на движение — в заданиях 1–5 и 21 ОГЭ, 10 профильного ЕГЭ. Если ребёнку трудно составлять уравнения, это хорошо тренируется по схеме. Репетиторы по математике в «Котангенсе» учат решать текстовые задачи через рисунок и таблицу. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.