Задание 16 ЕГЭ профиль: экономическая задача (кредиты и вклады)

Задание 16 профильного ЕГЭ по математике — экономическая задача: кредиты, вклады, оптимизация производства. Максимум — 2 балла. Многие выпускники боятся её из-за слова «экономика», но на деле это задача на прогрессии и проценты с ограниченным набором схем.

Это одно из самых «натренируемых» заданий второй части: если выучить две-три схемы, можно уверенно получать 2 балла.

Основная идея: процент — это множитель

Если банк начисляет r% годовых, долг за год умножается на k = 1 + r/100. Например, 10% годовых → k = 1,1.

Схема 1. Равные платежи (аннуитет)

Кредит S под r% на n лет, платёж каждый год одинаковый — X. Каждый год: долг умножается на k, затем вычитается X.

После 1 года: Sk − X

После 2 лет: (Sk − X)k − X = Sk² − X(k + 1)

…

После n лет: Skⁿ − X(kⁿ⁻¹ + … + k + 1) = 0.

Пример. Взяли 1,1 млн ₽ на 2 года под 10%. Платежи равные. Найдите платёж.

1,1 · 1,1² − X(1,1 + 1) = 0 → 1,331 = 2,1X → X ≈ 0,6338 млн.

В ЕГЭ числа подбирают «красиво». Например: кредит 4 641 000 ₽ под 10% на 4 года равными платежами. Тогда платёж X = 4 641 000 · 1,1⁴ / (1,1³ + 1,1² + 1,1 + 1) = 4 641 000 · 1,4641 / 4,641 = 1 464 100 ₽.

Схема 2. Долг уменьшается равномерно (дифференцированный)

Долг каждый год уменьшается на одну и ту же сумму S/n. Платёж = начисленные проценты + S/n.

Проценты за год i: (r/100) · долг на начало года. Долги: S, S(n − 1)/n, …, S/n — арифметическая прогрессия.

Общая выплата = S + (r/100) · (S + S(n − 1)/n + … + S/n) = S + (r/100) · S · (n + 1)/2.

Пример. Кредит 1,8 млн ₽ на 5 лет под 20%, долг уменьшается равномерно. Найдите общую сумму выплат.

Переплата: 0,2 · 1,8 · (5 + 1)/2 = 0,2 · 1,8 · 3 = 1,08 млн. Всего: 1,8 + 1,08 = 2,88 млн ₽.

Схема 3. Вклады

Вклад S под r% на n лет без снятия: Skⁿ. Если каждый год пополняют на P: (…((Sk + P)k + P)…). Решается так же, как кредит, только знаки «плюс».

Схема 4. Оптимизация

Например: два завода, зависимость выпуска от рабочих часов, нужно максимизировать выпуск при ограничении на часы. Сводится к поиску наибольшего значения функции — через производную или через неравенство о средних.

Как оформлять

• Обозначьте неизвестные и запишите, что значит k.
• Покажите, как меняется долг по годам (таблица или формулы).
• Составьте уравнение и решите его.
• Ответьте на вопрос задачи с единицами.

Критерии: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — верно построена математическая модель, но решение не доведено до конца или ответ неверный из-за вычислительной ошибки.

Типичные ошибки

• Путают, когда начисляются проценты и когда вносится платёж.
• Неверно понимают «долг уменьшается на одну и ту же величину» — путают с равными платежами.
• Арифметические ошибки с большими числами: удобно считать в тысячах или миллионах.
• Округляют промежуточные результаты.

Как подготовиться к заданию 16

1. Разобрать четыре схемы на простых числах.
2. Решить 20–30 задач 16 из сборников, обязательно с таблицей долга по годам.
3. Сравнивать каждую новую задачу со схемами: «на какую она похожа?».

Задание 16 — одно из самых выгодных во второй части: подготовка займёт 6–8 занятий, а 2 балла дают заметную прибавку к итоговым 100. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт все схемы и типовые формулировки. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.