Задание 10 ЕГЭ профиль: текстовые задачи

Задание 10 профильного ЕГЭ по математике — текстовая задача с кратким ответом. Сюжеты знакомы по ОГЭ: движение, работа, проценты, смеси, сплавы, прогрессии. Но числа и формулировки сложнее, а оформлять решение не нужно — только ответ.

Схема для любой текстовой задачи

1. Обозначьте неизвестное (x).
2. Нарисуйте таблицу: для движения — v, t, s; для работы — производительность, время, объём работы; для смесей — масса, концентрация, масса вещества.
3. Найдите условие, которое даёт уравнение.
4. Решите и выберите корень по смыслу.
5. Ответьте на вопрос задачи (не обязательно это x).

Движение

Два велосипедиста одновременно стартуют на дистанцию 60 км. Скорость первого на 10 км/ч больше, и он приезжает на 3 часа раньше. Найдите скорость второго.

Пусть x — скорость второго. 60/x − 60/(x + 10) = 3.

60(x + 10) − 60x = 3x(x + 10) → 600 = 3x² + 30x → x² + 10x − 200 = 0 → x = 10 (x = −20 не подходит).

Ответ: 10 км/ч.

Движение по окружности

Из одной точки круговой трассы длиной 14 км одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля: 80 км/ч и 115 км/ч. Через сколько минут первый будет отставать от второго ровно на один круг?

Скорость «сближения» по кругу: 115 − 80 = 35 км/ч. Нужно «набрать» 14 км: 14/35 = 0,4 ч = 24 мин.

Работа

Первый рабочий делает заказ за 12 часов, второй — за 6. За сколько часов они выполнят его вместе?

1/12 + 1/6 = 3/12 = 1/4 → 4 часа.

Проценты

Цену товара повысили на 25%, затем снизили на 20%. Как изменилась цена?

1,25 · 0,8 = 1. Цена не изменилась.

Это классический «подвох»: повышение и понижение на проценты не компенсируют друг друга «по процентам», а считаются через множители.

Смеси и сплавы

Смешали 4 литра 15%-го раствора с 6 литрами 25%-го. Какова концентрация смеси?

Вещества: 0,6 + 1,5 = 2,1 л. Объём 10 л. Концентрация 21%.

Прогрессии

Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий. В первый и последний день она проползла 15 м. Всего она ползла 6 дней. Найдите расстояние между деревьями.

Сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)/2 · n = 15/2 · 6 = 45 м.

(«В первый и последний день вместе — 15 м» — значит a₁ + a₆ = 15.)

Проверка ответа

Подставьте ответ обратно в условие. Для задачи про велосипедистов: второй едет 60/10 = 6 ч, первый 60/20 = 3 ч, разница 3 ч — верно.

Типичные ошибки

• Не перевели минуты в часы (или наоборот).
• Ответили не на вопрос (нашли скорость первого, а спрашивали второго).
• Посторонний корень по смыслу задачи.
• Проценты от разных величин: «на 20% больше, чем…» — относительно чего?

Как подготовиться

1. Разбейте задания 10 из открытого банка ФИПИ по сюжетам.
2. Решайте по 5–7 задач каждого сюжета с таблицей.
3. Ведите список «ловушек», на которых ошиблись.

Текстовые задачи — то, где больше всего помогает разбор с преподавателем: ученик сам составляет уравнение, а репетитор подсказывает вопросом, если ход неверный. В «Котангенсе» подготовка к профильному ЕГЭ — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.