Задание 9 ЕГЭ профиль: задачи с прикладным содержанием

Задание 9 профильного ЕГЭ по математике — «задача с прикладным содержанием». В условии длинный текст из физики, экономики или техники и формула. Нужно подставить данные, решить уравнение или неравенство и записать ответ.

Выглядит пугающе из-за объёма текста, но по сути это то же задание 12 из ОГЭ, только с более сложными функциями: квадратичными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими.

Алгоритм

1. Найдите в тексте формулу и выпишите её отдельно.
2. Выпишите известные величины с числами.
3. Определите, что ищем — и при каком условии («не менее», «не более», «через какое время»).
4. Подставьте и решите.
5. Проверьте ответ по смыслу и единицам измерения.

Пример 1. Квадратичная функция

Высота над землёй подброшенного мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

1,6 + 8t − 5t² ≥ 3 → 5t² − 8t + 1,4 ≤ 0 → 25t² − 40t + 7 ≤ 0.

D = 1600 − 700 = 900, √D = 30. t = (40 ± 30)/50 → t₁ = 0,2, t₂ = 1,4.

Мяч выше 3 м при t ∈ [0,2; 1,4]. Время: 1,4 − 0,2 = 1,2 с.

Обратите внимание: спрашивают длительность, а не момент времени. Это частая ловушка.

Пример 2. Показательная функция

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m₀ · 2^(−t/T), где m₀ = 160 мг, T = 10 мин — период полураспада. Через сколько минут масса станет 5 мг?

160 · 2^(−t/10) = 5 → 2^(−t/10) = 1/32 = 2⁻⁵ → t/10 = 5 → t = 50.

Пример 3. Линейная функция

Зависимость температуры (в кельвинах) нагревательного элемента от времени: T(t) = T₀ + bt + at², где T₀ = 1400, a = −10, b = 200. Прибор может испортиться при температуре выше 1760 K. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор?

1400 + 200t − 10t² = 1760 → 10t² − 200t + 360 = 0 → t² − 20t + 36 = 0 → t = 2 или t = 18.

Температура впервые достигнет 1760 K при t = 2. Ответ: 2 минуты.

Второй корень (18) — момент, когда температура снова опустится до 1760, он не подходит по смыслу.

Пример 4. Формула с дробью

Сила тока I = U/R. При U = 220 В и силе тока не более 4 А какое наименьшее сопротивление R можно использовать?

220/R ≤ 4 → R ≥ 55. Ответ: 55.

Типичные ошибки

• Ищут момент времени вместо длительности — или наоборот.
• Не выбирают корень по смыслу. Время отрицательным не бывает; «через какое наименьшее время» — меньший положительный корень.
• Путают «не менее» и «не более».
• Ошибаются в арифметике с десятичными дробями: удобно умножить уравнение на 10 или 100, чтобы избавиться от запятых.

Как подготовиться к заданию 9

1. Разобрать по 3–4 задачи на каждый вид функции: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая.
2. Каждый раз выписывать формулу и данные отдельно от текста.
3. Решить 30–40 задач 9 из открытого банка ФИПИ.

Задание 9 тренирует навык, который нужен физикам и инженерам: превращать текст в математику. Если ребёнок теряется в длинных условиях, это поправимо — нужно просто научиться выделять главное. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет с этим и с остальной подготовкой к профильному ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.