Задание 18 ЕГЭ профиль: задача с параметром

Задание 18 профильного ЕГЭ по математике — задача с параметром, до 4 баллов. Нужно найти все значения параметра a, при которых уравнение (неравенство, система) имеет заданное число решений или решения с определённым свойством.

Полностью задачу решает небольшая доля выпускников. Но параметры — не магия: есть два основных метода, и многие задачи ЕГЭ решаются графически.

Два метода

Аналитический. Решаем уравнение относительно x, «таща» параметр за собой, и разбираем случаи. Надёжно, но громоздко.

Графический. Перестраиваем задачу так, чтобы увидеть её на плоскости:

• в координатах (x; y) — например, график функции и семейство прямых y = ax + 1, вращающихся вокруг точки (0; 1);
• в координатах (x; a) — выражаем a через x и смотрим, сколько раз горизонтальная прямая a = const пересекает получившуюся кривую.

Для ЕГЭ графический метод чаще всего быстрее.

Пример

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x² − 4x| = a имеет ровно три решения.

Строим график y = |x² − 4x|. Парабола y = x² − 4x имеет корни 0 и 4, вершину (2; −4). Модуль отражает часть ниже оси x вверх: получаем «горб» с вершиной (2; 4) между 0 и 4 и две ветви снаружи.

Прямая y = a:

• a < 0 — нет решений;
• a = 0 — два решения (x = 0, x = 4);
• 0 < a < 4 — четыре решения;
• a = 4 — три решения (касание вершины горба + две ветви);
• a > 4 — два решения.

Ответ: a = 4.

Типичные сюжеты

• Модули: уравнения вида |f(x)| = a, |x − a| + |x + a| = …
• Окружности: (x − a)² + (y − 2a)² = 4 — окружность, центр которой движется по прямой y = 2x при изменении a.
• Квадратный трёхчлен: расположение корней относительно точки или отрезка.
• Системы: одно уравнение задаёт фигуру (окружность, ромб, пара прямых), второе — семейство прямых.

Критерии (общий принцип)

Баллы ставят за продвижение:

• 4 балла — обоснованно получен верный ответ.
• 3 балла — верный ответ отличается от правильного включением/исключением граничных точек.
• 2 балла — верно рассмотрен один из ключевых случаев или с помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий ответ.
• 1 балл — задача верно сведена к исследованию графически или аналитически.

То есть 1 балл можно получить, просто правильно переформулировав задачу и построив верную картинку. Для тех, кто целится в 80–90 баллов, это существенно.

Как подготовиться к заданию 18

1. Уверенно строить графики: прямая, парабола, гипербола, модуль, окружность, преобразования графиков (сдвиги, отражения).
2. Разобрать 5–6 базовых типов задач графическим методом.
3. Решать по одной-две задачи в неделю, начиная с 10 класса.
4. Сравнивать своё решение с образцом, особенно граничные точки.

Параметры — тема, которую трудно освоить по книжке: нужен разбор вживую, с построениями. Репетитор по математике в «Котангенсе» покажет на интерактивной доске, как прямая y = a «скользит» по графику и где меняется число решений. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.