Задачи на проценты: три типа, которые нужно уметь

Проценты встречаются везде: скидки в магазине, ставки по кредиту, результаты опросов, задачи ОГЭ и ЕГЭ. При этом многие школьники путаются, потому что учат три разных «правила» вместо одной идеи. На деле задачи на проценты сводятся к трём типам, которые нужно уметь решать.

Главная идея

Процент — это сотая часть. 1% = 1/100 = 0,01.

Значит, 25% = 0,25, 7% = 0,07, 150% = 1,5.

Если научиться переводить проценты в десятичную дробь, все задачи на проценты решаются одной операцией — умножением или делением.

Тип 1. Найти процент от числа

Найдите 15% от 240.

0,15 · 240 = 36.

Правило: процент → дробь → умножить.

Тип 2. Найти число по его проценту

30% от числа равны 45. Найдите число.

0,3 · x = 45 → x = 45 : 0,3 = 150.

Правило: часть делим на долю.

Тип 3. Сколько процентов одно число от другого

Сколько процентов составляет 18 от 72?

18 : 72 = 0,25 = 25%.

Правило: делим часть на целое и умножаем на 100.

Как не перепутать типы

Задайте себе вопрос: что известно — целое или часть?

• Известно целое, ищем часть → тип 1 (умножаем).
• Известна часть и её процент, ищем целое → тип 2 (делим).
• Известны часть и целое, ищем процент → тип 3 (делим часть на целое).

Повышение и понижение

Повышение на p% — умножить на (1 + p/100).

Цена 800 ₽ выросла на 15%: 800 · 1,15 = 920 ₽.

Понижение на p% — умножить на (1 − p/100).

Цена 800 ₽ снизилась на 15%: 800 · 0,85 = 680 ₽.

Ловушка: повышение, потом понижение

Цену повысили на 20%, потом снизили на 20%. Вернулась ли она к исходной?

1,2 · 0,8 = 0,96. Цена стала на 4% меньше исходной.

Почему? Второе изменение считается уже от новой цены. 20% от большей цены — больше, чем 20% от меньшей.

Ловушка: «на сколько процентов больше»

Яблоки стоят 120 ₽, груши — 150 ₽. На сколько процентов груши дороже яблок?

(150 − 120) : 120 = 0,25 = 25%.

А на сколько процентов яблоки дешевле груш?

(150 − 120) : 150 = 0,2 = 20%.

Ответы разные, потому что сравниваем с разными величинами. Всегда смотрите: «от чего» считаем процент — это то, что стоит после слов «чем» или «по сравнению с».

Сложные проценты

Вклад 10 000 ₽ под 10% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет через 3 года?

10 000 · 1,1³ = 10 000 · 1,331 = 13 310 ₽.

Не 13 000! Каждый год проценты начисляются и на уже начисленные проценты. Этот тип встречается в задании 16 профильного ЕГЭ.

Как тренироваться

1. Переводите проценты в дроби и обратно до автоматизма: 5%, 12%, 50%, 125%, 0,5%.
2. Решите по 10 задач каждого типа.
3. Считайте реальные скидки в магазине: «−30% на куртку за 4 500 ₽ — сколько заплатим?».
4. Задачи из открытого банка ФИПИ: задания 1–5 ОГЭ и задание 10 профильного ЕГЭ.

Проценты проходят в 5–6 классе, но многие подходят к ОГЭ, так и не разобравшись в них. Если ребёнок путается, это быстро исправляется с преподавателем, который объяснит одну идею вместо трёх правил. Репетиторы по математике в «Котангенсе» занимаются онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 6 класса.