Арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы и задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии — тема 9 класса, которая встречается в задании 14 ОГЭ и задании 10 ЕГЭ, а также в экономической задаче 16 ЕГЭ. Формул всего несколько, и они логично выводятся.

Числовая последовательность

Последовательность — числа, записанные по порядку: a₁, a₂, a₃, … Номер показывает место числа.

Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d (разности).

aₙ₊₁ = aₙ + d.

Пример: 3, 7, 11, 15, … (d = 4). 10, 7, 4, 1, … (d = −3).

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ + d(n − 1).

Пример. a₁ = 5, d = 3. Найдите a₂₀.

a₂₀ = 5 + 3 · 19 = 62.

Сумма первых n членов:

Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n, или Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))/2 · n.

Пример. Сумма чисел от 1 до 100: (1 + 100)/2 · 100 = 5050.

Характеристическое свойство: каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседних:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

Геометрическая прогрессия

Каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель), q ≠ 0.

bₙ₊₁ = bₙ · q.

Пример: 2, 6, 18, 54, … (q = 3). 64, 32, 16, … (q = 1/2). 1, −2, 4, −8, … (q = −2).

Формула n-го члена:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Пример. b₁ = 3, q = 2. Найдите b₆.

b₆ = 3 · 2⁵ = 96.

Сумма первых n членов (q ≠ 1):

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Пример. 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ (10 членов): S = 1 · (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.

Характеристическое свойство: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ (для положительных членов bₙ — среднее геометрическое соседей).

Бесконечно убывающая (|q| < 1): S = b₁/(1 − q).

1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1 − 1/2) = 2.

Как отличить

• Разница между соседними членами постоянна → арифметическая.
• Отношение соседних членов постоянно → геометрическая.

В текстовых задачах: «на … больше» → арифметическая; «в … раз больше», «удваивается», «на …% больше» → геометрическая.

Задачи

Задача 1. В амфитеатре 15 рядов. В первом 20 мест, в каждом следующем на 3 больше. Сколько всего мест?

a₁₅ = 20 + 3 · 14 = 62. S = (20 + 62)/2 · 15 = 615.

Задача 2. Бактерия делится каждые 30 минут. Сколько бактерий будет через 3 часа, если вначале была одна?

За 3 часа — 6 делений. 1 · 2⁶ = 64.

Задача 3. Найдите разность арифметической прогрессии, если a₃ = 10, a₇ = 22.

a₇ − a₃ = 4d → 12 = 4d → d = 3.

Типичные ошибки

• В формуле n-го члена пишут d · n вместо d(n − 1).
• Путают прогрессии в текстовой задаче.
• Ошибаются с номером члена: «через 6 делений» — это 7-й член, если первый — начальный момент.
• Путают формулы суммы арифметической и геометрической.

Как тренироваться

1. Разберитесь, откуда формулы (например, «сумма Гаусса»: 1 + 100, 2 + 99, …).
2. Решите по 10 задач на каждую формулу.
3. Решите задания 14 ОГЭ из открытого банка ФИПИ.

Прогрессии часто проходят в конце 9 класса, почти перед ОГЭ, и их не успевают отработать. Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогут разобраться в теме заранее. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 9 класса.