Площади фигур: все формулы для 8–9 класса

Площади фигур встречаются в геометрии 8–9 класса, в заданиях 1–5, 15–18 и 23–25 ОГЭ и в задании 1 ЕГЭ. Формул для них много, но все они связаны между собой. Если понять, откуда они берутся, запоминать почти ничего не нужно.

Прямоугольник и квадрат

• Прямоугольник: S = a · b.
• Квадрат: S = a² = d²/2 (d — диагональ).

Это основа: все остальные формулы выводятся из площади прямоугольника.

Параллелограмм

S = a · h (сторона на высоту, проведённую к ней).

Почему: если отрезать треугольник с одной стороны и приставить с другой, получится прямоугольник с той же площадью.

S = a · b · sin α — через две стороны и угол между ними.

Ромб

• S = a · h (как параллелограмм).
• S = d₁ · d₂ / 2 — половина произведения диагоналей.
• S = a² · sin α.

Треугольник

S = ½ · a · h — половина стороны на высоту к ней.

Почему: треугольник — половина параллелограмма.

Прямоугольный: S = ½ · a · b (катеты).

Через две стороны и угол: S = ½ · a · b · sin C.

Равносторонний: S = a²√3 / 4.

Формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр.

Через радиус вписанной окружности: S = p · r.

Через радиус описанной окружности: S = abc / (4R).

Трапеция

S = (a + b)/2 · h — полусумма оснований на высоту.

Или S = m · h, где m — средняя линия.

Почему: две одинаковые трапеции, сложенные «валетом», дают параллелограмм.

Круг и его части

• Круг: S = πR².
• Длина окружности: L = 2πR.
• Сектор с углом α (в градусах): S = πR² · α/360.

Пример: выбор формулы

В треугольнике две стороны 6 и 8, угол между ними 30°. Найдите площадь.

S = ½ · 6 · 8 · sin 30° = ½ · 48 · ½ = 12.

Ромб с диагоналями 10 и 24.

S = 10 · 24 / 2 = 120.

Трапеция с основаниями 5 и 11, высотой 4.

S = (5 + 11)/2 · 4 = 32.

Треугольник со сторонами 13, 14, 15.

p = 21. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

Фигуры на клетчатой бумаге

Для «косых» фигур:

1. Достройте до прямоугольника по линиям сетки.
2. Вычтите площади «лишних» прямоугольных треугольников.

Или используйте формулу Пика: S = В + Г/2 − 1 (В — узлы внутри фигуры, Г — на границе).

Отношения площадей

• Подобные фигуры с коэффициентом k: площади относятся как k².
• Треугольники с общей высотой: площади относятся как основания.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих.

Типичные ошибки

• Забывают ½ в площади треугольника.
• В ромбе забывают поделить произведение диагоналей на 2.
• Берут высоту, проведённую не к той стороне.
• Путают формулы площади круга и длины окружности.
• Неверно считают отношение площадей подобных фигур (k вместо k²).

Как запомнить

Начните с прямоугольника. Затем выведите параллелограмм («отрезать и переставить»), треугольник («половина параллелограмма»), трапецию («две трапеции = параллелограмм»). Нарисуйте каждую фигуру и формулу на одной карточке.

Геометрия становится понятной, когда видно, откуда берутся формулы. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют площади на чертежах и интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.