Задание 14 ОГЭ по математике: арифметическая и геометрическая прогрессия

Задание 14 ОГЭ по математике — текстовая задача на арифметическую или геометрическую прогрессию. Сюжеты жизненные: в первом ряду кинотеатра 24 места, в каждом следующем на 2 больше; колония бактерий удваивается каждые 20 минут; спортсмен каждый день пробегает на 500 м больше.

Главное — понять, какая это прогрессия, и выбрать правильную формулу.

Как отличить прогрессии

• Арифметическая: каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d (разность). Примеры: 3, 7, 11, 15… (d = 4); 20, 17, 14… (d = −3).
• Геометрическая: каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q (знаменатель). Примеры: 2, 6, 18, 54… (q = 3); 80, 40, 20… (q = 0,5).

Ключевые слова: «на столько-то больше» → арифметическая; «в столько-то раз больше», «удваивается», «уменьшается вдвое» → геометрическая.

Формулы

Арифметическая прогрессия:

• n-й член: aₙ = a₁ + d(n − 1)
• сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n

Геометрическая прогрессия:

• n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
• сумма первых n членов: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1

Формулы есть в справочных материалах, которые выдают на ОГЭ. Но лучше знать их наизусть и понимать, откуда они.

Примеры

Пример 1. Кинотеатр. В первом ряду 24 места, в каждом следующем на 2 больше. Сколько мест в 15-м ряду?

a₁ = 24, d = 2, n = 15. a₁₅ = 24 + 2 · 14 = 52.

Пример 2. Сколько всего мест, если рядов 15?

S₁₅ = (24 + 52)/2 · 15 = 38 · 15 = 570.

Пример 3. Бактерии. Колония бактерий удваивается каждые 20 минут. Сначала было 50 бактерий. Сколько их станет через 2 часа?

За 2 часа — 6 периодов по 20 минут. Начальное значение b₁ = 50 — это момент 0, а через 6 удвоений: 50 · 2⁶ = 50 · 64 = 3200.

Здесь легко ошибиться на единицу: если подставить в формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ с n = 6, получится 50 · 32 = 1600 — неверно. Нужно понять, что после 6 удвоений — это 7-й член прогрессии. Поэтому в таких задачах удобнее рассуждать «по шагам»: сколько раз умножили на 2.

Пример 4. Тренировки. В первый день спортсмен пробежал 3 км, а каждый следующий — на 0,5 км больше. В какой день он впервые пробежит 8 км?

aₙ = 3 + 0,5(n − 1) = 8 → 0,5(n − 1) = 5 → n − 1 = 10 → n = 11.

Ответ: в 11-й день.

Типичные ошибки

• Ошибка на единицу. Путают номер члена и количество шагов. Если a₁ — первый день, то к 11-му дню прошло 10 шагов.
• Путают прогрессии. «Увеличивается на 10%» — это умножение на 1,1, то есть геометрическая прогрессия.
• Не дочитали вопрос. Спрашивают сумму за все дни, а ученик нашёл значение в последний день.
• Арифметика. 2⁶ = 64, а не 32 или 128. Выпишите степени двойки, если сомневаетесь.

Совет: не бойтесь посчитать вручную

Если членов немного (до 10), можно просто выписать их подряд: 3; 3,5; 4; 4,5… Это медленнее, но надёжнее, если формула вызывает сомнения. А ещё это отличная проверка ответа, полученного по формуле.

Как подготовиться

1. Разобраться в разнице прогрессий на 5–6 простых последовательностях.
2. Выучить формулы n-го члена и суммы.
3. Решить 15–20 текстовых задач из открытого банка ФИПИ.
4. В каждой задаче отдельно записывать: a₁ = …, d = …, n = …, что найти.

Прогрессии проходят в 9 классе, обычно весной, — почти перед экзаменом. Поэтому эту тему часто не успевают отработать. Если ребёнок путается, лучше начать заранее. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт тему и включит её в план подготовки к ОГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.