Задание 18 ОГЭ по математике: фигуры на клетчатой бумаге

Задание 18 ОГЭ по математике — фигура на клетчатой бумаге, обычно с клетками 1 × 1. Нужно найти площадь, длину отрезка, среднюю линию, расстояние от точки до прямой или тангенс угла. Это одно из самых простых геометрических заданий: всё видно на картинке, нужно лишь аккуратно посчитать клетки.

Площадь фигуры

Если стороны идут по линиям сетки — считайте основания и высоту по клеткам и подставляйте в обычную формулу.

Пример: трапеция с основаниями 3 и 7 клеток, высота 4 клетки. S = (3 + 7)/2 · 4 = 20.

Если фигура «косая» — есть два приёма.

Приём 1. Достроить до прямоугольника. Обведите фигуру прямоугольником по линиям сетки. Вычтите площади лишних прямоугольных треугольников по углам.

Пример: треугольник с вершинами (1; 1), (6; 2), (3; 5). Описанный прямоугольник: от x = 1 до 6, от y = 1 до 5 — это 5 × 4 = 20. Лишние треугольники:

• (1; 1), (6; 1), (6; 2): катеты 5 и 1 → 2,5.
• (6; 2), (6; 5), (3; 5): катеты 3 и 3 → 4,5.
• (3; 5), (1; 5), (1; 1): катеты 2 и 4 → 4.

S = 20 − 2,5 − 4,5 − 4 = 9.

Приём 2. Формула Пика. S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов сетки строго внутри фигуры, Г — на границе. Работает для любого многоугольника с вершинами в узлах. Удобно, но нужно аккуратно считать точки. Используйте как проверку.

Длина отрезка

Отрезок от (x₁; y₁) до (x₂; y₂): по горизонтали a клеток, по вертикали b клеток. Длина — по теореме Пифагора: √(a² + b²).

Пример: смещение 3 клетки вправо и 4 вверх → длина 5.

Средняя линия

Средняя линия трапеции — полусумма оснований, треугольника — половина параллельной стороны. Считайте основания по клеткам.

Расстояние от точки до прямой

Если прямая горизонтальная или вертикальная — просто считайте клетки по перпендикуляру. Если косая — обычно задачу подбирают так, что перпендикуляр всё равно попадает в узлы сетки.

Тангенс угла

Достройте прямоугольный треугольник так, чтобы угол был в нём острым и стороны шли по линиям сетки. tg = противолежащий катет / прилежащий.

Пример: луч идёт на 4 клетки вправо и 3 вверх. tg угла с горизонталью = 3/4 = 0,75.

Типичные ошибки

• Считают клетки «по краю» вместо промежутков: от 2 до 7 — это 5 клеток, а не 6.
• В «косых» фигурах путаются, какие треугольники вычитать. Подписывайте каждый.
• Забывают, что площадь треугольника — это половина произведения катетов.
• Не проверяют ответ: если фигура занимает примерно половину прямоугольника 5 × 4, ответ должен быть около 10, а не 18.

Как подготовиться

Решите 15–20 заданий 18 из открытого банка ФИПИ. Через 10 задач приём «достроить до прямоугольника» становится автоматическим.

Дома удобно тренироваться на обычной тетради в клетку: нарисуйте любую фигуру, посчитайте площадь двумя способами — через достройку и по формуле Пика — и сравните.

Задание 18 — один из самых надёжных геометрических баллов. Вместе с заданиями 15–17 оно обеспечивает минимум по геометрии, без которого не выдают аттестат. Если ребёнку тяжело даётся геометрия, начните именно с таких заданий: они дают быстрый успех и уверенность. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет выстроить подготовку к ОГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.