Формулы сокращённого умножения: как запомнить и применять

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) проходят в 7 классе, а пользуются ими до самого ЕГЭ: в упрощении выражений, разложении на множители, квадратных уравнениях, дробях, тригонометрии. Хорошая новость: формул всего семь, и их не нужно зубрить — их можно понять. Ниже — как запомнить формулы сокращённого умножения и применять их в обе стороны.

Семь формул

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)
4. Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
6. Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
7. Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Самые важные — первые три. Их нужно знать «в обе стороны» и узнавать мгновенно.

Откуда берутся

Каждая формула — результат обычного раскрытия скобок.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².

Если однажды вывести формулу самому, её трудно забыть.

Наглядно: квадрат со стороной (a + b) состоит из квадрата a², квадрата b² и двух прямоугольников ab. Поэтому и «2ab».

Как применять: в обе стороны

Слева направо — раскрытие скобок:

(x + 5)² = x² + 10x + 25.

(2a − 3)² = 4a² − 12a + 9.

(x − 4)(x + 4) = x² − 16.

Справа налево — разложение на множители:

x² − 49 = (x − 7)(x + 7).

x² + 6x + 9 = (x + 3)².

8 − y³ = (2 − y)(4 + 2y + y²).

Полезные применения

Быстрый счёт:

• 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
• 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.
• 48 · 52 = (50 − 2)(50 + 2) = 2500 − 4 = 2496.

Сокращение дробей:

(x² − 9)/(x + 3) = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3.

Иррациональности:

(√7 − √3)(√7 + √3) = 7 − 3 = 4.

Выделение полного квадрата (нужно для парабол и квадратных уравнений):

x² − 6x + 11 = (x² − 6x + 9) + 2 = (x − 3)² + 2.

Типичные ошибки

1. (a + b)² = a² + b² — самая частая ошибка. Забыли 2ab. Проверьте на числах: (1 + 2)² = 9, а 1 + 4 = 5.
2. (a − b)² = a² − b² — то же самое.
3. Удвоенное произведение: (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4, а не 6x или 5x.
4. Квадрат с коэффициентом: (2a)² = 4a², а не 2a².
5. Путают сумму кубов и куб суммы: a³ + b³ ≠ (a + b)³.
6. Знак в неполном квадрате: в сумме кубов — минус: (a² − ab + b²), в разности — плюс.

Как запомнить

• Выведите каждую формулу сами один раз.
• Проверяйте на числах: подставьте a = 2, b = 1 — обе части должны совпасть.
• Карточка на столе первые 2–3 недели.
• Решайте «в обе стороны»: 10 примеров на раскрытие, 10 — на разложение.
• Квадраты чисел до 20 и кубы до 5 — выучить наизусть, это ускоряет узнавание.

Где пригодится

• Алгебра 7–9 класса: преобразования, дроби, уравнения.
• ОГЭ: задания 8 (выражения), 20 (уравнения), 22 (графики).
• ЕГЭ: задание 7 (выражения), 13 (уравнения), 15 (неравенства), 18 (параметры).

Если формулы «не держатся» в голове, ребёнок будет ошибаться во всей старшей алгебре. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют, откуда берутся формулы, и тренируют их до автоматизма. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 7 класса.