Комбинаторика: перестановки, размещения и сочетания

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами можно…?». Сколькими способами рассадить гостей, составить пароль, выбрать дежурных? Эти задачи встречаются в курсе «Вероятность и статистика», в олимпиадах и в задачах на вероятность в ОГЭ и ЕГЭ. Главные инструменты — перестановки, размещения и сочетания.

Правило умножения

Если первое действие можно сделать m способами, а второе — n способами, то оба вместе — m · n способами.

Пример. У вас 4 футболки и 3 пары шорт. Сколько разных комплектов? 4 · 3 = 12.

Пример. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры могут повторяться? 5 · 5 · 5 = 125.

Правило умножения — основа всей комбинаторики. Остальные формулы — его частные случаи.

Правило сложения

Если выбор делается или одним способом, или другим (не одновременно) — способы складываются.

Пример. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами можно выбрать одного дежурного? 12 + 15 = 27.

Факториал

n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

• 3! = 6
• 4! = 24
• 5! = 120
• 0! = 1 (по договорённости)

Перестановки

Сколькими способами можно упорядочить n разных объектов?

Pₙ = n!

Пример. Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь? 5! = 120.

Почему: на первое место — 5 вариантов, на второе — 4, на третье — 3… 5 · 4 · 3 · 2 · 1.

Размещения

Сколькими способами можно выбрать k объектов из n и упорядочить их? Порядок важен.

Aₙᵏ = n! / (n − k)!

Пример. В классе 25 учеников. Сколькими способами выбрать старосту и его заместителя? A₂₅² = 25 · 24 = 600.

Порядок важен: Петя-староста и Вася-заместитель — не то же, что наоборот.

Сочетания

Сколькими способами можно выбрать k объектов из n, если порядок не важен?

Cₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!)

Пример. Сколькими способами выбрать 2 дежурных из 25 учеников? C₂₅² = 25 · 24 / 2 = 300.

Порядок не важен: пара «Петя и Вася» — то же, что «Вася и Петя». Поэтому сочетаний в 2! = 2 раза меньше, чем размещений.

Как выбрать формулу

Задайте два вопроса:

1. Выбираем всех или часть? Всех → перестановки.
2. Важен ли порядок? Да → размещения. Нет → сочетания.

• Упорядочить всех — формула: Перестановки n!
• Выбрать часть, порядок важен (места, роли) — формула: Размещения
• Выбрать часть, порядок не важен (группа, набор) — формула: Сочетания

Если сомневаетесь — решайте через правило умножения и думайте, не посчитали ли вы одно и то же несколько раз.

Комбинаторика и вероятность

Классическая вероятность P = m/n часто требует посчитать m и n с помощью комбинаторики.

Пример. Из колоды 36 карт вытаскивают 2. Какова вероятность, что обе — тузы?

Всего способов: C₃₆² = 36 · 35 / 2 = 630. Благоприятных: C₄² = 6. P = 6/630 = 1/105.

Типичные ошибки

• Путают размещения и сочетания — не думают, важен ли порядок.
• Забывают про ограничения (например, трёхзначное число не может начинаться с 0).
• Неправильно считают факториалы.

Как учить

1. Начните с правила умножения — решайте всё через него.
2. Потом введите формулы как «сокращения».
3. Для каждой задачи задавайте два вопроса из раздела «Как выбрать формулу».

Комбинаторика — тема, где важно понимание, а не формулы. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют её на понятных примерах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по теории вероятностей.