Задачи на совместную работу: как составить уравнение

Задачи на совместную работу — один из классических типов текстовых задач: два рабочих делают заказ, трубы наполняют бассейн, принтеры печатают тираж. Они встречаются в задании 21 ОГЭ и задании 10 профильного ЕГЭ. Решаются по одной схеме — разберём, как составить уравнение.

Три величины

• A — объём работы (сколько нужно сделать);
• t — время;
• P — производительность (сколько работы в единицу времени).

A = P · t, отсюда P = A/t, t = A/P.

Это то же самое, что s = v · t в задачах на движение. Производительность — это «скорость работы».

Главный приём: вся работа = 1

Если объём работы не указан (наполнить бассейн, выполнить заказ), примите его за 1.

Тогда если рабочий выполняет работу за 6 часов, его производительность — 1/6 работы в час.

Совместная работа

При совместной работе производительности складываются.

Пример 1. Первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, второй — за 6. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

P₁ = 1/12, P₂ = 1/6. P = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4. t = 1 : 1/4 = 4 часа.

Пример 2. Одна труба наполняет бассейн за 3 часа, другая опорожняет его за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе?

Опорожняющая труба — «отрицательная» производительность. P = 1/3 − 1/6 = 1/6. t = 6 часов.

Задачи с неизвестным

Пример 3. Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 6 часов. Первая одна наполняет его на 5 часов быстрее второй. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?

Пусть вторая — за x часов, первая — за x − 5.

Таблица:

• первая: производительность 1/(x − 5), время x − 5;
• вторая: производительность 1/x, время x;
• вместе: производительность 1/6, время 6.

Уравнение: 1/(x − 5) + 1/x = 1/6.

6x + 6(x − 5) = x(x − 5) → 12x − 30 = x² − 5x → x² − 17x + 30 = 0 → x = 15 или x = 2.

x = 2 не подходит (тогда первая труба работала бы −3 часа). Ответ: 15 часов.

Пример 4. Двое рабочих выполнили заказ за 12 дней. Если бы первый работал один, он выполнил бы заказ за 20 дней. За сколько дней выполнит заказ второй рабочий один?

1/20 + 1/x = 1/12 → 1/x = 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30. x = 30 дней.

Задачи с объёмом работы

Пример 5. Первый принтер печатает 120 страниц на 2 минуты быстрее второго. Вместе за минуту они печатают 50 страниц. Сколько страниц в минуту печатает каждый?

Пусть первый печатает x стр/мин, второй — 50 − x.

120/(50 − x) − 120/x = 2.

120x − 120(50 − x) = 2x(50 − x) → 240x − 6000 = 100x − 2x² → 2x² + 140x − 6000 = 0 → x² + 70x − 3000 = 0.

D = 4900 + 12000 = 16900, √D = 130. x = (−70 + 130)/2 = 30.

Первый — 30 стр/мин, второй — 20 стр/мин.

Проверка: 120/20 − 120/30 = 6 − 4 = 2 ✓.

Алгоритм

1. Если объём не указан — принять за 1.
2. Обозначить неизвестное.
3. Заполнить таблицу: производительность, время, работа.
4. Найти условие для уравнения (сумма производительностей, разница во времени).
5. Решить, выбрать корень по смыслу.
6. Проверить.

Типичные ошибки

• Складывают время, а не производительности: «4 часа + 6 часов = 10 часов вместе» — абсурд, вместе быстрее.
• Забывают, что «быстрее на 5 часов» — значит, меньше времени.
• Не отбрасывают корень, при котором время отрицательно.

Задачи на работу — то же, что задачи на движение, только с другими словами. Репетиторы по математике в «Котангенсе» учат видеть эту общую схему. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.