Иррациональные уравнения: как решать и проверять корни

Иррациональные уравнения — уравнения, где переменная стоит под знаком корня: √(x + 3) = 5, √(2x − 1) = x − 2. Они встречаются в задании 6 профильного ЕГЭ и иногда в задании 13. Главная ловушка — посторонние корни, которые появляются после возведения в квадрат. Ниже — как решать такие уравнения и проверять корни.

Главный метод: возведение в квадрат

Чтобы избавиться от корня, обе части возводят в квадрат.

Пример. √(x + 3) = 5.

x + 3 = 25 → x = 22.

Проверка: √25 = 5 ✓.

Почему появляются посторонние корни

Возведение в квадрат — неравносильное преобразование. Из a = b следует a² = b², но из a² = b² следует a = b или a = −b. Поэтому могут появиться «лишние» корни.

Пример. √(x + 2) = x.

x + 2 = x² → x² − x − 2 = 0 → x = 2 или x = −1.

Проверка:

• x = 2: √4 = 2 ✓.
• x = −1: √1 = 1, а правая часть −1. 1 ≠ −1 ✗.

Ответ: x = 2. Корень −1 — посторонний.

Два способа не ошибиться

Способ 1. Проверка подстановкой. Подставить каждый найденный корень в исходное уравнение. Надёжно, но с «некрасивыми» корнями долго.

Способ 2. Условие неотрицательности. Для уравнения √f(x) = g(x):

• корень всегда ≥ 0, значит, g(x) ≥ 0;
• f(x) = g(x)² (тогда f(x) ≥ 0 выполняется автоматически).

Пример. √(2x − 1) = x − 2.

Условие: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2.

2x − 1 = (x − 2)² → 2x − 1 = x² − 4x + 4 → x² − 6x + 5 = 0 → x = 1 или x = 5.

x = 1 < 2 — не подходит. Ответ: x = 5.

Проверка: √9 = 3, 5 − 2 = 3 ✓.

Уравнение с двумя корнями

Пример. √(x + 5) = √(2x − 1).

Условия: x + 5 ≥ 0 и 2x − 1 ≥ 0 → x ≥ 0,5.

x + 5 = 2x − 1 → x = 6. Подходит.

Пример. √(x + 4) − √(x − 1) = 1.

Перенесём: √(x + 4) = 1 + √(x − 1).

Возведём в квадрат: x + 4 = 1 + 2√(x − 1) + x − 1 → 4 = 2√(x − 1) → √(x − 1) = 2 → x = 5.

Проверка: √9 − √4 = 3 − 2 = 1 ✓.

Совет: перед возведением в квадрат «уединяйте» корень — оставляйте один корень в одной части.

Замена переменной

Пример. x − 5√x + 6 = 0.

t = √x ≥ 0: t² − 5t + 6 = 0 → t = 2 или t = 3.

√x = 2 → x = 4; √x = 3 → x = 9.

Корень нечётной степени

∛(x − 1) = 2 → x − 1 = 8 → x = 9.

Для кубических корней посторонних корней при возведении в куб не появляется — куб сохраняет знак.

Типичные ошибки

1. Нет проверки — посторонний корень в ответе.
2. Возведение в квадрат суммы: (1 + √x)² = 1 + 2√x + x, а не 1 + x.
3. Не «уединили» корень перед возведением в квадрат — получилось громоздко.
4. Забыли условие t ≥ 0 при замене t = √x.

Как тренироваться

1. 10 простых уравнений вида √f = a.
2. 10 уравнений √f = g — с условием неотрицательности.
3. 5–10 уравнений с двумя корнями.
4. Задания 6 ЕГЭ по теме.

Иррациональные уравнения требуют аккуратности. Репетиторы по математике в «Котангенсе» учат решать их без потери корней и без лишних. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.