Показательные уравнения и неравенства: основные методы

Показательные уравнения — уравнения, где переменная стоит в показателе степени: 2ˣ = 16, 3^(x+1) − 3ˣ = 18. Они встречаются в задании 6 профильного ЕГЭ (простые), в задании 13 (сложнее, с отбором корней) и в неравенствах задания 15. Основные методы решения показательных уравнений и неравенств немногочисленны, и все они опираются на свойства степеней.

Основа: показательная функция

y = aˣ (a > 0, a ≠ 1).

• a > 1 — функция возрастает.
• 0 < a < 1 — функция убывает.
• aˣ > 0 при любом x.

Главное следствие: если aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾, то f(x) = g(x).

Метод 1. Приведение к одному основанию

Пример. 4ˣ = 32.

4 = 2², 32 = 2⁵: 2^(2x) = 2⁵ → 2x = 5 → x = 2,5.

Пример. (1/9)ˣ = 27.

3^(−2x) = 3³ → −2x = 3 → x = −1,5.

Пример. 5^(x² − 3x) = 1/25.

5^(x² − 3x) = 5⁻² → x² − 3x + 2 = 0 → x = 1, x = 2.

Метод 2. Вынесение общего множителя

Когда степени отличаются на число в показателе.

Пример. 3^(x+2) − 3ˣ = 72.

3ˣ · 9 − 3ˣ = 72 → 3ˣ(9 − 1) = 72 → 3ˣ = 9 → x = 2.

Пример. 2^(x+1) + 2^(x−1) = 20.

2ˣ · 2 + 2ˣ / 2 = 20 → 2ˣ(2 + 0,5) = 20 → 2ˣ = 8 → x = 3.

Метод 3. Замена переменной

Когда в уравнении есть a²ˣ и aˣ.

Пример. 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0.

t = 2ˣ > 0: t² − 6t + 8 = 0 → t = 2, t = 4.

2ˣ = 2 → x = 1; 2ˣ = 4 → x = 2.

Важно: t = aˣ всегда больше нуля. Если получилось t ≤ 0 — этот корень отбрасываем.

Пример. 9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 = 0. t = 3ˣ: t² − 2t − 3 = 0 → t = 3 или t = −1 (не подходит). 3ˣ = 3 → x = 1.

Метод 4. Однородные уравнения

Уравнения вида a · 4ˣ + b · 6ˣ + c · 9ˣ = 0. Делим на 9ˣ (или 4ˣ) и делаем замену t = (2/3)ˣ.

Пример. 4ˣ − 6ˣ − 2 · 9ˣ = 0.

Делим на 9ˣ: (4/9)ˣ − (6/9)ˣ − 2 = 0 → t² − t − 2 = 0, где t = (2/3)ˣ.

t = 2 или t = −1 (не подходит). (2/3)ˣ = 2 → x = log_(2/3) 2.

Метод 5. Логарифмирование

Когда основания нельзя привести к одному.

Пример. 3ˣ = 7 → x = log₃ 7.

Пример. 2ˣ = 5^(x−1). Логарифмируем: x ln 2 = (x − 1) ln 5 → x = ln 5 / (ln 5 − ln 2).

Показательные неравенства

Главное правило:

• Основание > 1 — знак неравенства сохраняется: 2ˣ > 8 → x > 3.
• Основание от 0 до 1 — знак меняется: (1/2)ˣ > 8 → x < −3.

Пример. 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 ≤ 0.

t = 2ˣ: t² − 5t + 4 ≤ 0 → 1 ≤ t ≤ 4 → 1 ≤ 2ˣ ≤ 4 → 0 ≤ x ≤ 2.

Типичные ошибки

• Забывают, что aˣ > 0, и не отбрасывают отрицательный t.
• В неравенствах с основанием < 1 не меняют знак.
• Ошибаются при приведении к одному основанию: 1/8 = 2⁻³, √2 = 2^(1/2).
• Путают 2^(x+1) с 2ˣ + 1.

Как тренироваться

1. По 10 уравнений на каждый метод.
2. 10 неравенств — с особым вниманием к основанию.
3. Задания 6, 13, 15 ЕГЭ из открытого банка ФИПИ.

Показательные уравнения — тема, где важно хорошо знать свойства степеней. Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогают закрыть пробелы и подготовиться к ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.