Логарифмические уравнения: ОДЗ и типичные ловушки

Логарифмические уравнения встречаются в задании 6 профильного ЕГЭ (простые), в задании 13 (уравнения посложнее) и в неравенствах задания 15. Главная из типичных ловушек — область допустимых значений (ОДЗ). Именно на ней теряют больше всего баллов.

ОДЗ — первым делом

Логарифм log_a b существует, только если:

• b > 0 (аргумент положительный);
• a > 0 и a ≠ 1 (основание положительное и не равно 1).

Всегда начинайте решение с ОДЗ и проверяйте найденные корни.

Метод 1. По определению

log_a f(x) = c ⇔ f(x) = aᶜ.

Пример. log₂(x + 3) = 4.

ОДЗ: x > −3. x + 3 = 16 → x = 13. Входит в ОДЗ ✓.

Метод 2. Одинаковые основания

log_a f(x) = log_a g(x) ⇔ f(x) = g(x), при f(x) > 0, g(x) > 0.

Пример. log₅(2x − 1) = log₅(x + 3).

ОДЗ: 2x − 1 > 0 и x + 3 > 0 → x > 0,5.

2x − 1 = x + 3 → x = 4. Входит в ОДЗ ✓.

Метод 3. Свойства логарифмов

Объединяем сумму или разность логарифмов в один.

Пример. log₂ x + log₂(x − 2) = 3.

ОДЗ: x > 0 и x > 2 → x > 2.

log₂(x(x − 2)) = 3 → x² − 2x = 8 → x² − 2x − 8 = 0 → x = 4 или x = −2.

x = −2 не входит в ОДЗ. Ответ: 4.

Это классическая ловушка: без ОДЗ в ответе оказался бы лишний корень.

Метод 4. Замена переменной

Когда в уравнении есть log² и log.

Пример. log₃²x − 3 log₃ x + 2 = 0.

ОДЗ: x > 0. t = log₃ x: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 или t = 2.

log₃ x = 1 → x = 3; log₃ x = 2 → x = 9.

Метод 5. Переход к новому основанию

Если основания разные — приведите к одному:

log_a b = log_c b / log_c a.

Пример. log₄ x + log₂ x = 6.

log₄ x = (1/2) log₂ x. Тогда (3/2) log₂ x = 6 → log₂ x = 4 → x = 16.

Логарифмические неравенства

Основание > 1 — знак сохраняется: log₂ x > 3 → x > 8 (и x > 0).

Основание от 0 до 1 — знак меняется: log₀,₅ x > 3 → x < 1/8 (и x > 0) → 0 < x < 1/8.

Не забывайте ОДЗ — ответ пересекается с ней.

Пример. log₃(x − 1) ≤ 2.

ОДЗ: x > 1. x − 1 ≤ 9 → x ≤ 10. Ответ: (1; 10].

Если основание с переменной

log_x 16 = 2 → x² = 16 → x = 4 (x = −4 не подходит: основание > 0). Не забывайте x ≠ 1.

Типичные ошибки

1. Нет ОДЗ — лишние корни в ответе.
2. log(a + b) = log a + log b — неверно.
3. Основание < 1 в неравенстве — знак не изменили.
4. ОДЗ проверяют не для исходного уравнения, а для преобразованного. После объединения логарифмов ОДЗ может «расшириться» — проверять нужно по исходному.
5. Потеря корней при неправильном применении свойства log(x²) = 2 log x (верно только при x > 0; в общем случае 2 log|x|).

Как тренироваться

1. Повторите свойства логарифмов.
2. По 10 уравнений на каждый метод — с ОДЗ.
3. 10 неравенств.
4. Задания 6, 13, 15 ЕГЭ.

Логарифмические уравнения требуют аккуратности. Репетиторы по математике в «Котангенсе» учат решать их без потери баллов. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.