Тригонометрические уравнения: от простейших к сложным

Тригонометрические уравнения — центральная тема алгебры 10–11 класса и задание 13 профильного ЕГЭ. Почти любое тригонометрическое уравнение сводится к простейшим. Поэтому сначала нужно безупречно решать простейшие, а потом — научиться сводить к ним более сложные.

Простейшие уравнения

sin x = a (|a| ≤ 1):

x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn, n ∈ ℤ.

Или двумя сериями: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn.

cos x = a (|a| ≤ 1):

x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ.

tg x = a (любое a):

x = arctg a + πn, n ∈ ℤ.

Если |a| > 1 для синуса или косинуса — корней нет.

Частные случаи (запомнить)

• sin x = 0 → x = πn.
• sin x = 1 → x = π/2 + 2πn.
• sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn.
• cos x = 0 → x = π/2 + πn.
• cos x = 1 → x = 2πn.
• cos x = −1 → x = π + 2πn.

Примеры простейших

sin x = 1/2. x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.

cos x = −√2/2. x = ±3π/4 + 2πn.

tg x = √3. x = π/3 + πn.

cos 2x = 1/2. 2x = ±π/3 + 2πn → x = ±π/6 + πn. (Делим на 2 всё, включая 2πn!)

Тип 1. Сводящиеся к квадратным

Замена t = sin x (или cos x, tg x).

Пример. 2sin²x − sin x − 1 = 0.

t = sin x: 2t² − t − 1 = 0 → t = 1 или t = −1/2.

sin x = 1 → x = π/2 + 2πn.

sin x = −1/2 → x = −π/6 + 2πn, x = −5π/6 + 2πn.

Не забывайте проверять, что |t| ≤ 1 для синуса и косинуса.

Если в уравнении и sin², и cos — используйте sin²x = 1 − cos²x, чтобы оставить одну функцию.

Пример. 2cos²x + 3sin x = 0 → 2(1 − sin²x) + 3sin x = 0 → 2sin²x − 3sin x − 2 = 0 → sin x = 2 (не подходит) или sin x = −1/2.

Тип 2. Однородные уравнения

Первой степени: a sin x + b cos x = 0.

Делим на cos x (проверив, что cos x ≠ 0): a tg x + b = 0.

Пример. sin x − √3 cos x = 0 → tg x = √3 → x = π/3 + πn.

Второй степени: a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0. Делим на cos²x → квадратное относительно tg x.

Тип 3. Разложение на множители

Пример. sin 2x = sin x.

2 sin x cos x − sin x = 0 → sin x(2cos x − 1) = 0.

sin x = 0 → x = πn.

cos x = 1/2 → x = ±π/3 + 2πn.

Нельзя делить на sin x — потеряете корни sin x = 0!

Отбор корней

В задании 13 ЕГЭ нужно отобрать корни на отрезке. Способы:

• тригонометрический круг — отметить отрезок дугой и точки серий;
• двойное неравенство — решить относительно n;
• перебор n — подставить n = −1, 0, 1, 2…

Подробнее — в статье о задании 13 ЕГЭ.

Типичные ошибки

• Теряют вторую серию у sin x = a.
• Делят на выражение с x и теряют корни.
• Забывают проверить |t| ≤ 1 после замены.
• При cos 2x = a забывают разделить период на 2.
• Путают arcsin и arccos.

Как тренироваться

1. 30 простейших уравнений — до автоматизма (с кругом).
2. По 10 уравнений каждого типа.
3. Задания 13 ЕГЭ с отбором корней.

Тригонометрия становится понятной на круге. Репетиторы по математике в «Котангенсе» разбирают уравнения на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по тригонометрии.