Системы линейных уравнений: подстановка и сложение

Система уравнений — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. В 7 классе изучают системы двух линейных уравнений с двумя переменными и решают их подстановкой и сложением. Это важная тема: на ней строятся текстовые задачи, системы в ОГЭ (задание 20), а потом и более сложные системы в старших классах.

Что значит «решить систему»

Найти такую пару (x; y), которая подходит в оба уравнения.

{ x + y = 7

{ x − y = 1

Решение: x = 4, y = 3. Проверка: 4 + 3 = 7 ✓, 4 − 3 = 1 ✓.

Способ подстановки

1. Из одного уравнения выразите одну переменную через другую.
2. Подставьте во второе уравнение.
3. Решите получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найдите вторую переменную.

Пример.

{ 2x + y = 11

{ 3x − 2y = 6

Из первого: y = 11 − 2x.

Подставляем: 3x − 2(11 − 2x) = 6 → 3x − 22 + 4x = 6 → 7x = 28 → x = 4.

y = 11 − 8 = 3.

Ответ: (4; 3).

Когда удобно: если в одном из уравнений есть переменная с коэффициентом 1 или −1 — её легко выразить.

Способ сложения

1. Умножьте уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
2. Сложите уравнения — одна переменная исчезнет.
3. Решите уравнение с одной переменной.
4. Подставьте, чтобы найти вторую.

Пример.

{ 3x + 2y = 16

{ 5x − 2y = 0

Коэффициенты при y уже противоположны. Складываем: 8x = 16 → x = 2.

Подставляем в первое: 6 + 2y = 16 → y = 5.

Ответ: (2; 5).

Пример посложнее.

{ 2x + 3y = 12

{ 3x + 4y = 17

Умножим первое на 3, второе на −2:

{ 6x + 9y = 36

{ −6x − 8y = −34

Складываем: y = 2. Тогда 2x + 6 = 12 → x = 3.

Ответ: (3; 2).

Когда удобно: когда коэффициенты «неудобные» для выражения переменной.

Графический способ

Каждое линейное уравнение — это прямая на плоскости. Решение системы — точка пересечения прямых.

• Прямые пересекаются → одно решение.
• Прямые параллельны → решений нет.
• Прямые совпадают → бесконечно много решений.

Графический способ наглядный, но неточный — им хорошо проверять ответ и понимать, сколько решений.

Задачи, решаемые системами

За 3 тетради и 2 ручки заплатили 160 ₽, а за 2 тетради и 3 ручки — 140 ₽. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка?

Пусть x — цена тетради, y — ручки.

{ 3x + 2y = 160

{ 2x + 3y = 140

Умножим первое на 3, второе на −2: 9x + 6y = 480, −4x − 6y = −280. Складываем: 5x = 200 → x = 40. Тогда 120 + 2y = 160 → y = 20.

Ответ: тетрадь 40 ₽, ручка 20 ₽.

Типичные ошибки

• При подстановке забывают скобки: 3x − 2 · 11 − 2x вместо 3x − 2(11 − 2x).
• При умножении уравнения на число умножают не все члены.
• Нашли x, но забыли найти y.
• Не делают проверку.

Проверка — обязательно

Подставьте найденную пару в оба уравнения. Если хотя бы одно не выполняется — ошибка.

Системы уравнений — тема, где важна аккуратность. Если ребёнок путается в подстановке и знаках, обычно это пробелы в раскрытии скобок и отрицательных числах. Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогают закрыть и тему, и пробелы. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 7 класса.