Задание 20 ОГЭ по математике: уравнения и системы с развёрнутым решением

Задание 20 — первое задание второй части ОГЭ по математике. Здесь уже нельзя просто записать ответ: нужно привести решение, его проверяют эксперты. За задание дают до 2 баллов.

Для многих девятиклассников это главный «шаг вверх»: решив задание 20, можно получить четвёрку при не идеальной первой части.

Что встречается

• Уравнения: биквадратные (x⁴ − 5x² + 4 = 0), дробно-рациональные, уравнения высших степеней через разложение на множители (x³ + 3x² − 4x − 12 = 0).
• Системы уравнений: одно уравнение линейное, другое — квадратное.
• Неравенства: квадратные или дробные, метод интервалов.
• Упрощение выражений с последующим вычислением.

Пример 1. Уравнение высшей степени

x³ + 3x² − 4x − 12 = 0.

Группируем: x²(x + 3) − 4(x + 3) = 0 → (x + 3)(x² − 4) = 0 → (x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0.

x = −3, x = 2, x = −2.

Ответ: −3; −2; 2.

Пример 2. Биквадратное уравнение

x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Замена t = x², t ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 → t = 1 или t = 4.

x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.

Ответ: −2; −1; 1; 2.

Важно: если бы получилось t < 0, такой корень нужно отбросить — x² не может быть отрицательным. И это обязательно нужно написать в решении.

Пример 3. Дробно-рациональное уравнение

1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 4/(x² − 4).

ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ −2.

Общий знаменатель (x − 2)(x + 2): (x + 2) + (x − 2) = 4 → 2x = 4 → x = 2.

Но x = 2 не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет.

Это классическая ловушка: решение «получилось», но знаменатель обращается в ноль. Если не проверить ОДЗ, ответ будет неверным, и эксперт поставит 0 баллов.

Пример 4. Система

x + y = 5,

xy = 6.

Из первого: y = 5 − x. Подставляем: x(5 − x) = 6 → x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 или x = 3.

Если x = 2, то y = 3; если x = 3, то y = 2.

Ответ: (2; 3), (3; 2).

Как оформлять

Эксперт ставит баллы так (общий принцип критериев ФИПИ):

• 2 балла — обоснованно получен верный ответ.
• 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или описка, с её учётом дальнейшие шаги верны.
• 0 баллов — во всех остальных случаях.

Отсюда правила:

1. Пишите все шаги. «x = 2 и x = −3» без решения — 0 баллов.
2. Указывайте ОДЗ для дробных уравнений и проверяйте корни.
3. При замене пишите условие (t ≥ 0) и отбрасывайте лишние корни с объяснением.
4. Пишите ответ отдельной строкой. «Ответ: −3; −2; 2».
5. Пишите разборчиво. Бланк сканируется; если эксперт не может прочитать, это не его проблема.

Типичные ошибки

• Деление обеих частей на выражение с переменной — потеря корня.
• Забытая проверка ОДЗ в дробных уравнениях.
• В системе нашли x, но забыли найти y.
• Ответ записан не полностью: например, при биквадратном уравнении забыли отрицательные корни.

Как подготовиться

1. Уверенно решать задание 9 — это основа.
2. Разобрать 4 типа: высшие степени через группировку, биквадратные, дробные, системы.
3. Решать каждый пример с полным оформлением, как на экзамене.
4. Давать решение на проверку учителю или репетитору — со стороны видно, где эксперт снимет балл.

Последний пункт особенно важен: многие школьники решают верно, но теряют баллы на оформлении. В «Котангенсе» репетиторы по математике разбирают на уроке решения второй части по критериям ФИПИ и показывают, как записать решение на 2 балла. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.