Задание 9 ОГЭ по математике: линейные и квадратные уравнения

В задании 9 ОГЭ по математике нужно решить уравнение. Чаще всего это линейное уравнение, квадратное или уравнение, которое сводится к ним. Если корней несколько, в условии обычно сказано, какой записать: «больший», «меньший» или «запишите корни в порядке возрастания без пробелов».

Линейные уравнения

Вид: ax + b = c. Переносим всё с x в одну сторону, числа — в другую, делим на коэффициент.

Пример. 5x − 7 = 2x + 8.

5x − 2x = 8 + 7 → 3x = 15 → x = 5.

Со скобками. 3(x − 4) = 2(x + 1) − 5.

3x − 12 = 2x + 2 − 5 → 3x − 2x = −3 + 12 → x = 9.

С дробями. (x − 2)/3 = (x + 4)/5.

Умножаем крест-накрест: 5(x − 2) = 3(x + 4) → 5x − 10 = 3x + 12 → 2x = 22 → x = 11.

Квадратные уравнения

Вид: ax² + bx + c = 0.

Через дискриминант. D = b² − 4ac. Если D > 0 — два корня x = (−b ± √D) / 2a. Если D = 0 — один корень. Если D < 0 — корней нет.

Пример. x² − 5x − 14 = 0.

D = 25 + 56 = 81, √D = 9. x₁ = (5 + 9)/2 = 7, x₂ = (5 − 9)/2 = −2.

Если спрашивают меньший корень — ответ −2.

Неполные квадратные уравнения решаются быстрее без дискриминанта.

• x² − 16 = 0 → x² = 16 → x = ±4.
• x² + 6x = 0 → x(x + 6) = 0 → x = 0 или x = −6.
• x² + 9 = 0 → корней нет (квадрат не может быть отрицательным).

По теореме Виета. Если a = 1, то x₁ + x₂ = −b, x₁ · x₂ = c. Для x² − 5x − 14 = 0 ищем два числа с суммой 5 и произведением −14: это 7 и −2. Удобно, когда корни целые.

Уравнения, которые сводятся к квадратным

Пример. (x − 3)² = (x + 1)².

Можно раскрыть скобки: x² − 6x + 9 = x² + 2x + 1 → −8x = −8 → x = 1. Квадраты сократились, уравнение оказалось линейным.

Пример. x² = 3x.

Нельзя делить на x — потеряете корень 0. Правильно: x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 или x = 3.

Как записывать ответ

• Один корень — просто число.
• Два корня и просят «в порядке возрастания без пробелов» — например, корни −2 и 7 записываются как «−27». Да, это выглядит странно, но так требует бланк.
• Если корень дробный, записывайте десятичной дробью: 1/4 → 0,25.

Читайте последнюю строку условия особенно внимательно. Потерять балл, решив уравнение правильно и записав не тот корень, — обидно и очень частая история.

Типичные ошибки

• Переносят слагаемое в другую часть, не меняя знак.
• Неверно раскрывают скобки с минусом: −(x − 3) = −x + 3.
• Делят на переменную и теряют корень.
• Ошибаются в дискриминанте при отрицательном b или c: для x² − 5x − 14 надо считать (−5)² − 4 · 1 · (−14) = 25 + 56.
• Пишут оба корня, хотя просили один.

Как подготовиться

1. Отработать перенос слагаемых и раскрытие скобок на 15–20 линейных уравнениях.
2. Выучить формулу дискриминанта и решить 20 квадратных уравнений полностью, с проверкой подстановкой.
3. Разобрать неполные квадратные уравнения — они решаются за 10 секунд.
4. Переходить к заданиям 9 из открытого банка ФИПИ.

Навык из задания 9 нужен и во второй части: задание 20 — это тоже уравнения, только посложнее и с развёрнутым решением. Если ребёнок уверенно решает уравнения, он получает баллы сразу в двух местах.

Если уравнения не даются, обычно дело в пробелах 7–8 класса. Репетитор по математике в «Котангенсе» найдёт и закроет их, а потом выведет на задания ОГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.