Задание 13 ОГЭ по математике: неравенства и системы неравенств

В задании 13 ОГЭ по математике нужно решить неравенство или систему неравенств и выбрать правильный ответ из четырёх вариантов. Варианты обычно даны в виде промежутков на числовой прямой или в записи вида (−∞; 3].

Линейные неравенства

Решаются как уравнения, с одним важным правилом: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Пример. 3 − 2x ≥ 7.

−2x ≥ 4 → x ≤ −2 (разделили на −2, знак поменялся).

Ответ: (−∞; −2].

Пример. 4(x − 1) < 2x + 6.

4x − 4 < 2x + 6 → 2x < 10 → x < 5.

Ответ: (−∞; 5).

Скобки: круглые или квадратные

• Строгое неравенство (< или >) — круглая скобка, точка на прямой «пустая» (выколотая).
• Нестрогое (≤ или ≥) — квадратная скобка, точка закрашенная.
• Бесконечность всегда с круглой скобкой.

Это частое место ошибок: варианты ответа в задании 13 часто отличаются только скобками.

Системы неравенств

Решаем каждое неравенство отдельно и находим пересечение — те x, которые подходят обоим.

Пример.

x + 3 > 0,

2x − 8 ≤ 0.

Первое: x > −3. Второе: x ≤ 4. Пересечение: −3 < x ≤ 4, то есть (−3; 4].

Нарисуйте обе части на одной прямой — штриховка в разные стороны. Там, где штриховки перекрываются, и есть ответ.

Если пересечения нет (например, x > 5 и x < 2), система решений не имеет.

Квадратные неравенства

Пример. x² − 4x − 5 < 0.

1. Найдите корни уравнения x² − 4x − 5 = 0: x = 5 и x = −1.
2. Парабола с ветвями вверх (a = 1 > 0) лежит ниже оси x между корнями.
3. Ответ: (−1; 5).

Если знак > 0 — ответ «снаружи» корней: (−∞; −1) ∪ (5; +∞).

Пример. x² ≤ 9.

x² − 9 ≤ 0, корни ±3, ветви вверх → между корнями: [−3; 3].

Частая ошибка: написать «x ≤ ±3» или «x ≤ 3». Правильный ответ — отрезок от −3 до 3.

Если корней нет. x² + 4 > 0 — верно при любом x, ведь x² ≥ 0. x² + 4 < 0 — решений нет.

Как выбрать вариант

1. Решите неравенство сами, не глядя в варианты.
2. Нарисуйте ответ на прямой.
3. Сравните с вариантами: границы, скобки, направление.
4. Проверьте подстановкой одного числа из ответа и одного не из ответа.

Например, для x² − 4x − 5 < 0 подставьте x = 0: −5 < 0 — верно, 0 в ответе есть. Подставьте x = 6: 36 − 24 − 5 = 7 > 0 — неверно, 6 в ответ не входит. Всё сходится.

Типичные ошибки

• Забыли поменять знак при делении на отрицательное число.
• Перепутали круглые и квадратные скобки.
• В системе взяли объединение вместо пересечения.
• В квадратном неравенстве перепутали «между корнями» и «снаружи».

Как подготовиться

Неравенства — тема 8–9 класса, но опираются на уравнения из задания 9. Сначала уверенно решаем уравнения, потом переходим к неравенствам.

1. 10 линейных неравенств — особое внимание на деление на отрицательное.
2. 10 систем — рисуем каждую на прямой.
3. 10 квадратных — рисуем схематично параболу.
4. Задания 13 из открытого банка ФИПИ.

В старших классах тот же метод интервалов используется в ЕГЭ (задание 15 профильного уровня). Если ребёнок путается уже на ОГЭ, лучше разобраться сейчас. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.