Квадратные уравнения: дискриминант, теорема Виета и частые ошибки

Квадратные уравнения — центральная тема алгебры 8 класса. Они встречаются в ОГЭ, ЕГЭ, физике и почти во всех следующих темах: неравенствах, функциях, системах. Если научиться решать их быстро и без ошибок, дальше станет намного легче. Ниже — дискриминант, теорема Виета и частые ошибки.

Что такое квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

• a — старший коэффициент,
• b — второй коэффициент,
• c — свободный член.

Примеры: 2x² − 3x + 1 = 0 (a = 2, b = −3, c = 1); x² − 9 = 0 (a = 1, b = 0, c = −9).

Неполные уравнения — решаем без дискриминанта

b = 0: ax² + c = 0.

x² − 25 = 0 → x² = 25 → x = ±5.

x² + 4 = 0 → x² = −4 → корней нет.

c = 0: ax² + bx = 0.

3x² − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 → x = 0 или x = 4.

Нельзя делить на x! Если поделить 3x² = 12x на x, потеряется корень 0.

Полное уравнение: дискриминант

D = b² − 4ac.

• D > 0 — два корня: x = (−b ± √D) / (2a).
• D = 0 — один корень: x = −b / (2a).
• D < 0 — действительных корней нет.

Пример 1. 2x² − 3x + 1 = 0.

D = 9 − 8 = 1. x = (3 ± 1)/4 → x₁ = 1, x₂ = 0,5.

Пример 2. x² − 6x + 9 = 0.

D = 36 − 36 = 0. x = 6/2 = 3. (Кстати, это (x − 3)² = 0.)

Пример 3. x² + 2x + 5 = 0.

D = 4 − 20 = −16 < 0. Корней нет.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (a = 1):

• x₁ + x₂ = −p,
• x₁ · x₂ = q.

Пример. x² − 7x + 12 = 0. Ищем два числа: сумма 7, произведение 12. Это 3 и 4.

Теорема Виета удобна, когда корни целые и a = 1. Если подобрать за 10–15 секунд не получается — переходите к дискриминанту.

Проверка через Виета. Нашли корни по дискриминанту — проверьте сумму и произведение. Для 2x² − 3x + 1 = 0: сумма 1 + 0,5 = 1,5 = 3/2 = −b/a ✓, произведение 0,5 = 1/2 = c/a ✓.

Чётный второй коэффициент

Если b чётное, удобна формула с D/4:

D₁ = (b/2)² − ac, x = (−b/2 ± √D₁) / a.

x² − 8x + 15 = 0: D₁ = 16 − 15 = 1, x = 4 ± 1 → 3 и 5. Меньше вычислений.

Частые ошибки

1. Знак b. В x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b = −5, а не 5. Тогда −b = 5.
2. Квадрат отрицательного. (−5)² = 25, а не −25.
3. −4ac с отрицательным c. В x² − x − 6 = 0: D = 1 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25.
4. Деление только части числителя. x = (−b ± √D)/(2a) — на 2a делится вся сумма, а не только √D.
5. Уравнение не приведено к виду ax² + bx + c = 0. Сначала перенесите всё в одну сторону: x² = 5x − 6 → x² − 5x + 6 = 0.
6. Деление на x в неполных уравнениях.

Алгоритм

1. Привести к виду ax² + bx + c = 0.
2. Если уравнение неполное — решить разложением.
3. Если a = 1 и корни похожи на целые — попробовать Виета.
4. Иначе — дискриминант.
5. Проверить корни (подстановкой или через Виета).

Как тренироваться

• 10 неполных уравнений.
• 20 полных через дискриминант.
• 10 через Виета.
• Затем задания 9 и 20 ОГЭ.

Квадратные уравнения — фундамент всей старшей алгебры. Если в 8 классе они не стали автоматическими, проблемы проявятся в 9 классе на неравенствах и функциях. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет довести навык до уверенности. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 8 класса.