Модуль числа: определение, уравнения и неравенства

Модуль числа появляется в 6 классе с определением «расстояние до нуля», а потом возвращается в 8–11 классах в уравнениях, неравенствах, графиках и задачах с параметром. Если понять смысл модуля, большинство задач с ним решаются легко.

Определение

Модуль числа — расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Поэтому он всегда неотрицателен.

Например: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0.

Формально:

• если x ≥ 0, то |x| = x;
• если x < 0, то |x| = −x.

Внимание: −x при x < 0 — положительное число. Например, |−3| = −(−3) = 3.

Геометрический смысл

• |x| — расстояние от x до 0.
• |x − a| — расстояние от x до a.

Это очень полезно: |x − 3| = 5 означает «x находится на расстоянии 5 от числа 3», то есть x = 8 или x = −2.

Свойства

• |a| ≥ 0;
• |−a| = |a|;
• |ab| = |a| · |b|;
• |a/b| = |a|/|b|;
• |a|² = a²;
• √(a²) = |a|.

Уравнения с модулем

Тип 1. |f(x)| = a.

• a < 0 — решений нет;
• a = 0 — f(x) = 0;
• a > 0 — f(x) = a или f(x) = −a.

Пример. |2x − 1| = 7 → 2x − 1 = 7 или 2x − 1 = −7 → x = 4 или x = −3.

Тип 2. |f(x)| = |g(x)| → f(x) = g(x) или f(x) = −g(x).

Пример. |x − 1| = |x + 3| → x − 1 = x + 3 (нет решений) или x − 1 = −x − 3 → x = −1.

Тип 3. |f(x)| = g(x) — нужно условие g(x) ≥ 0.

Пример. |x − 2| = 2x − 1. Условие: 2x − 1 ≥ 0 → x ≥ 0,5.

x − 2 = 2x − 1 → x = −1 (не подходит).

x − 2 = −(2x − 1) → 3x = 3 → x = 1 (подходит).

Ответ: x = 1.

Тип 4. Несколько модулей — метод интервалов. Найти нули выражений под модулями, разбить прямую на промежутки, на каждом раскрыть модули с нужным знаком.

Неравенства с модулем

• |x| < a (a > 0) ⇔ −a < x < a.
• |x| > a ⇔ x < −a или x > a.

Пример. |x − 3| < 2 → −2 < x − 3 < 2 → 1 < x < 5.

Геометрически: точки на расстоянии меньше 2 от числа 3.

Пример. |2x + 1| ≥ 5 → 2x + 1 ≥ 5 или 2x + 1 ≤ −5 → x ≥ 2 или x ≤ −3.

График y = |x|

«Галочка» с вершиной в начале координат: при x ≥ 0 — прямая y = x, при x < 0 — прямая y = −x.

y = |f(x)| — часть графика f, лежащая ниже оси x, отражается вверх.

y = f(|x|) — правая часть графика (x ≥ 0) отражается влево симметрично относительно оси y.

Типичные ошибки

1. |−x| = −x — неверно в общем случае. |−x| = |x|.
2. Забывают второй случай при раскрытии модуля.
3. В уравнении |f| = g не проверяют g ≥ 0.
4. |a + b| = |a| + |b| — неверно (верно только если a и b одного знака).
5. √(x²) = x — неверно, правильно |x|.

Где пригодится

• Задание 7 ОГЭ, задание 22 ОГЭ (графики с модулем).
• Задача 18 ЕГЭ — параметры с модулем.
• Физика — модуль вектора (длина).

Модуль — тема, которую понимаешь через «расстояние». Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют её наглядно. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.