Линейные уравнения: как решать без ошибок

Линейные уравнения — первая «настоящая» алгебра. Их решают в 6–7 классе, а потом используют постоянно: в текстовых задачах, системах, неравенствах, физике. Если понять, как решать их уверенно и без ошибок, дальше будет намного легче.

Что такое линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0 (или сводящееся к нему), где x — неизвестное, а a и b — числа. Переменная — в первой степени, без x², без x в знаменателе.

Примеры: 3x − 7 = 8, 2(x + 1) = 5x − 4, x/3 + 1 = x/2.

Главная идея

Уравнение — это весы. Если с обеих сторон сделать одно и то же (прибавить, вычесть, умножить, разделить на не ноль), равновесие сохранится. Наша цель — оставить x одного с одной стороны.

Алгоритм

1. Раскрыть скобки.
2. Избавиться от дробей — умножить обе части на общий знаменатель.
3. Перенести слагаемые с x в одну сторону, числа — в другую, меняя знак при переносе.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент при x.
6. Проверить подстановкой.

Примеры

Пример 1. 3x − 7 = 8.

3x = 8 + 7 → 3x = 15 → x = 5.

Проверка: 3 · 5 − 7 = 8 ✓.

Пример 2. 5x + 3 = 2x − 9.

5x − 2x = −9 − 3 → 3x = −12 → x = −4.

Проверка: 5 · (−4) + 3 = −17; 2 · (−4) − 9 = −17 ✓.

Пример 3. Скобки. 4(x − 2) − 3(x + 1) = 5.

4x − 8 − 3x − 3 = 5 → x − 11 = 5 → x = 16.

Обратите внимание: −3(x + 1) = −3x − 3. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри.

Пример 4. Дроби. x/3 + 1 = x/2.

Умножим на 6: 2x + 6 = 3x → 6 = x → x = 6.

Проверка: 6/3 + 1 = 3, 6/2 = 3 ✓.

Пример 5. Десятичные дроби. 0,4x − 1,2 = 0,1x + 0,3.

Умножим на 10: 4x − 12 = x + 3 → 3x = 15 → x = 5.

Особые случаи

Нет корней. 2x + 3 = 2x + 5 → 0 · x = 2. Ни при каком x это не верно. Ответ: корней нет.

Бесконечно много корней. 3(x + 2) = 3x + 6 → 0 · x = 0. Верно при любом x. Ответ: x — любое число.

Типичные ошибки

1. Перенос без смены знака: 3x − 7 = 8 → 3x = 8 − 7 — неверно.
2. Минус перед скобкой: −3(x + 1) = −3x + 3 — неверно.
3. Умножают на знаменатель не все слагаемые: x/3 + 1 = x/2 → 2x + 1 = 3x — забыли умножить 1.
4. Делят на коэффициент с ошибкой в знаке: −2x = 10 → x = 5 — неверно, x = −5.
5. Не делают проверку.

Проверка — обязательна

Подставьте найденный корень в исходное уравнение (не в преобразованное). Если левая и правая части совпали — ответ верный. Проверка занимает 30 секунд и ловит почти все ошибки.

Как тренироваться

• 10 уравнений в день, от простых к сложным: без скобок → со скобками → с дробями.
• Всегда с проверкой.
• Отдельно потренировать раскрытие скобок с минусом.

Где пригодится

• Текстовые задачи — почти все сводятся к линейным уравнениям.
• Системы уравнений (7 класс).
• Неравенства (8–9 класс).
• Задания 9, 12, 21 ОГЭ, задание 6 ЕГЭ.
• Физика — выражение величин из формул.

Если линейные уравнения решаются с ошибками, дальше будет только труднее. Репетиторы по математике в «Котангенсе» доводят этот навык до автоматизма. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 7 класса.