Задание 6 ЕГЭ профиль: простейшие уравнения

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике — простое уравнение. Типов много, но каждое решается в 2–3 действия. Главное — знать базовый приём для каждого типа и не забывать про ограничения (ОДЗ).

Типы уравнений и приёмы

Линейное. 3(x − 2) = 5x + 4 → 3x − 6 = 5x + 4 → −2x = 10 → x = −5.

Квадратное. x² − 7x + 10 = 0 → x = 2 или x = 5. Если корней два, в условии скажут, какой записать («в ответ запишите больший»).

Дробное. (x + 3)/(x − 1) = 2 → x + 3 = 2(x − 1), x ≠ 1 → x + 3 = 2x − 2 → x = 5.

Иррациональное. √(2x + 7) = 5 → 2x + 7 = 25 → x = 9. Проверка: √25 = 5 ✓.

Если справа выражение с x, после возведения в квадрат обязательно проверьте корни подстановкой: могут появиться посторонние.

Показательное. 2^(x − 3) = 16 → 2^(x − 3) = 2⁴ → x − 3 = 4 → x = 7.

(1/3)^(2x) = 27 → 3^(−2x) = 3³ → −2x = 3 → x = −1,5.

Приём: привести обе части к одному основанию.

Логарифмическое. log₂(x + 5) = 3 → x + 5 = 2³ = 8 → x = 3. Проверка ОДЗ: x + 5 > 0 ✓.

log₅(4 − x) = log₅(2x + 1) → 4 − x = 2x + 1 → x = 1. ОДЗ: 4 − 1 = 3 > 0, 2 + 1 = 3 > 0 ✓.

Тригонометрическое. cos(πx/3) = 1/2. Найдите наименьший положительный корень.

πx/3 = ±π/3 + 2πn → x = ±1 + 6n. Наименьший положительный: x = 1.

Что записывать в ответ

• Если корень один — его.
• Если корней несколько — тот, который просят (больший, меньший, наименьший положительный).
• Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Типичные ошибки

• Нет проверки ОДЗ в логарифмических и дробных уравнениях.
• Посторонние корни в иррациональных уравнениях после возведения в квадрат.
• Неверное основание в показательных: 1/8 = 2⁻³, а не 2³.
• Записан не тот корень, который просили.
• В тригонометрических — не та серия или не тот n.

Алгоритм проверки

После любого уравнения подставьте ответ в исходное уравнение. Это 15 секунд — и почти гарантия, что балл не потерян.

Как подготовиться

1. Разделите задания 6 из открытого банка ФИПИ по типам.
2. Для каждого типа выпишите приём в одну строку (например, «показательное — к одному основанию»).
3. Решите по 10 задач каждого типа.
4. Обязательно делайте проверку подстановкой.

Задание 6 — фундамент для задания 13 (уравнения с отбором корней). Если простые уравнения решаются с ошибками, второе задание не получится. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет выстроить базу и подготовиться к профильному ЕГЭ. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.