Задание 13 ЕГЭ профиль: уравнения с отбором корней

Задание 13 открывает вторую часть профильного ЕГЭ по математике. Это уравнение из двух пунктов: а) решить уравнение; б) найти корни, принадлежащие отрезку. Максимум — 2 балла. Это самое «решаемое» задание второй части: его стоит готовить всем, кто целится выше 70 баллов.

Какие уравнения встречаются

Чаще всего — тригонометрические, которые сводятся к квадратным относительно sin x, cos x или tg x. Реже — показательные и логарифмические, иногда с тригонометрией внутри.

Пример

а) Решите уравнение 2cos²x + 3sin x − 3 = 0.

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

а) Заменяем cos²x = 1 − sin²x:

2(1 − sin²x) + 3sin x − 3 = 0 → −2sin²x + 3sin x − 1 = 0 → 2sin²x − 3sin x + 1 = 0.

Пусть t = sin x, t ∈ [−1; 1]: 2t² − 3t + 1 = 0 → t = 1 или t = 1/2.

• sin x = 1 → x = π/2 + 2πn, n ∈ ℤ.
• sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

б) Отбор на [π; 5π/2].

• x = π/2 + 2πn: при n = 1 x = 5π/2 — входит (правый конец).
• x = π/6 + 2πn: при n = 1 x = 13π/6 — входит (13π/6 ≈ 2,17π < 2,5π).
• x = 5π/6 + 2πn: при n = 1 x = 17π/6 — больше 5π/2 (= 15π/6), не входит. При n = 0 x = 5π/6 < π — не входит.

Ответ: а) π/2 + 2πn; π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ. б) 13π/6; 5π/2.

Способы отбора корней

1. Тригонометрический круг. Отмечаем отрезок дугой на круге и смотрим, какие точки серий на неё попадают. Наглядно, но нужно аккуратно считать обороты.

2. Двойное неравенство. π ≤ π/6 + 2πn ≤ 5π/2 → решаем относительно n и находим целые n. Надёжно и легко оформить.

3. Перебор n. Подставляем n = −1, 0, 1, 2 и смотрим, что попадает. Простой, но нужно аргументировать, почему другие n не подходят.

Для ЕГЭ годится любой способ, если он понятно записан.

Показательное уравнение

а) 4ˣ − 3 · 2^(x+1) + 8 = 0.

2^(2x) − 6 · 2ˣ + 8 = 0. Пусть t = 2ˣ > 0: t² − 6t + 8 = 0 → t = 2 или t = 4 → x = 1 или x = 2.

Логарифмическое уравнение

Обязательно указывайте ОДЗ (аргумент > 0, основание > 0 и ≠ 1) и проверяйте корни.

Критерии

• 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.
• 1 балл — обоснованно получен верный ответ в пункте а), или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов.
• 0 баллов — в остальных случаях.

Отсюда стратегия: даже если не уверены в отборе, обязательно решите пункт а) — это уже 1 балл.

Типичные ошибки

• Потеря серии корней (sin x = 1/2 даёт две серии на круге).
• Забыли ограничение t ∈ [−1; 1] для синуса и косинуса.
• Ошибка при отборе: неверно посчитаны концы отрезка.
• Деление на cos x без проверки, что cos x ≠ 0.
• Нет «n ∈ ℤ» в ответе — формально это неполный ответ.

Как подготовиться к заданию 13

1. Безупречно решать простейшие тригонометрические уравнения (sin x = a, cos x = a, tg x = a).
2. Знать основные формулы: тригонометрическое тождество, двойного угла, приведения.
3. Отработать отбор корней всеми способами.
4. Решить 30–40 заданий 13 из сборников и открытого банка ФИПИ с полным оформлением.

Задание 13 — тот случай, где важна аккуратность в записи. Репетитор по математике в «Котангенсе» разберёт с учеником, как оформлять решение так, чтобы эксперт не снял балл. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.