Логарифмы простыми словами: свойства и примеры

Логарифмы появляются в 10–11 классе и для многих становятся «стеной»: непонятное слово, странная запись, много правил. Но сама идея очень простая: если объяснять логарифмы простыми словами, это вопрос, заданный наоборот. Из него же вытекают все свойства — ниже разберём их на примерах.

Что такое логарифм

Мы знаем, что 2³ = 8. Здесь три числа: основание 2, показатель 3 и результат 8.

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число?

log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

Читается: «логарифм восьми по основанию два равен трём».

Ещё примеры:

• log₃ 9 = 2 (3² = 9)
• log₁₀ 1000 = 3 (10³ = 1000)
• log₅ 1 = 0 (5⁰ = 1)
• log₂ (1/4) = −2 (2⁻² = 1/4)
• log₄ 2 = 1/2 (4^(1/2) = 2)

Определение

log_a b = c ⇔ aᶜ = b,

где a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Почему такие ограничения? Основание 1 в любой степени даёт 1 — непонятно, что искать. Отрицательные основания и аргументы приводят к «плохим» степеням. Поэтому договорились работать только с положительными числами.

Особые логарифмы

• Десятичный: lg b = log₁₀ b. lg 100 = 2.
• Натуральный: ln b = logₑ b, где e ≈ 2,718. ln e = 1.

Основные свойства

1. log_a 1 = 0 (a⁰ = 1).
2. log_a a = 1 (a¹ = a).
3. a^(log_a b) = b — основное логарифмическое тождество. 3^(log₃ 7) = 7.
4. log_a (bc) = log_a b + log_a c — логарифм произведения равен сумме логарифмов. log₂ 32 = log₂ (4 · 8) = 2 + 3 = 5.
5. log_a (b/c) = log_a b − log_a c. log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 27 = 3.
6. log_a (bⁿ) = n · log_a b. log₂ 8⁵ = 5 · 3 = 15.
7. log_(aᵏ) b = (1/k) · log_a b. log₄ 8 = (1/2) · log₂ 8 = 1,5.
8. Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a. log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3.

Откуда свойства

Свойства логарифмов — это свойства степеней, «переписанные наоборот». Например, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ превращается в log(bc) = log b + log c. Если ребёнок хорошо знает степени, свойства логарифмов не нужно зубрить — их можно вывести.

Где логарифмы встречаются в ЕГЭ

• Задание 6 — простейшие логарифмические уравнения: log₂(x + 3) = 4.
• Задание 7 — вычисление выражений с логарифмами.
• Задание 9 — прикладные задачи (например, радиоактивный распад, громкость звука).
• Задание 12 — производная ln x.
• Задания 13 и 15 — уравнения и неравенства с логарифмами.

Типичные ошибки

• log(b + c) ≠ log b + log c. Сумма логарифмов — это логарифм произведения.
• log b · log c ≠ log(bc).
• Забывают про ОДЗ: в log₂(x − 5) нужно x > 5.
• Путают основание и аргумент: log₂ 8 = 3, а log₈ 2 = 1/3.
• В неравенствах с основанием меньше 1 не меняют знак.

Как разобраться

1. Повторите свойства степеней — это база.
2. Научитесь вычислять простые логарифмы «в уме»: log₂ 16, log₃ 81, log₅ 0,2.
3. Выведите свойства из свойств степеней.
4. Решите 20–30 примеров на вычисление и 10–15 простых уравнений.

Логарифмы — тема, где многие «плывут» только потому, что её объяснили формально. Когда видно, что логарифм — это просто «какая степень?», всё встаёт на места. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют алгебру старших классов через смысл, а не через зубрёжку. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.