Задание 19 ЕГЭ профиль: числа и их свойства

Задание 19 профильного ЕГЭ по математике — задача на свойства чисел (её ещё называют «олимпиадной» или задачей на теорию чисел). Максимум — 4 балла. Она состоит из трёх пунктов: а), б), в), и они идут по нарастающей.

Многие пропускают задание 19 целиком — и зря. Пункт а) часто решается простым подбором примера, а это уже 1 балл.

Как устроена задача

Обычно в условии описана ситуация с набором чисел: на доске написаны числа, их среднее арифметическое, сумма цифр, количество чётных и т. п. Дальше вопросы:

• а) «Может ли…?» — обычно ответ «да», нужно привести пример.
• б) «Может ли…?» — часто ответ «нет», нужно доказать.
• в) «Найдите наибольшее/наименьшее…» — оценка + пример.

Пример

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое равно 12.

а) Может ли наибольшее из них быть равно 50?

Сумма чисел 120. Если наибольшее 50, остальные 9 различных натуральных дают 70. Минимальная сумма 9 различных натуральных: 1 + 2 + … + 9 = 45 ≤ 70. Подберём: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 50. Сумма: 36 + 34 + 50 = 120. Все различны. Да, может.

б) Может ли наибольшее быть равно 80?

Остальные 9 дают 40, но минимальная сумма 9 различных натуральных — 45 > 40. Нет, не может.

в) Найдите наибольшее возможное значение наибольшего числа.

Оценка: наибольшее = 120 − (сумма остальных) ≤ 120 − 45 = 75. Пример: 1, 2, …, 9, 75. Сумма: 45 + 75 = 120. Ответ: 75.

Обратите внимание на структуру пункта в): оценка (больше быть не может) + пример (столько достигается). Без любой из частей пункт не засчитают полностью.

Полезные идеи

• Чётность: сумма нечётного количества нечётных чисел — нечётна.
• Делимость и остатки: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3 и на 9.
• Минимальная сумма различных натуральных: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
• Среднее арифметическое: сумма = среднее × количество.
• Крайние случаи: что будет, если все числа максимально малы или максимально велики?
• Перебор с отсечением: иногда вариантов немного, и их можно перебрать.

Критерии (общий принцип)

• 4 балла — верно получены все результаты.
• 3 балла — верно получены результаты б) и в).
• 2 балла — верно получены результаты в одном из пунктов б) или в) и пункт а).
• 1 балл — верно получен один из результатов.

Именно поэтому пункт а) так ценен: пример, найденный за 5–10 минут, — это 1 балл к первичным, а в пересчёте — несколько итоговых.

Как подготовиться к заданию 19

1. Решать все пункты а) из сборников — они тренируют навык подбора примера.
2. Разобрать 15–20 полных задач 19 с решениями: понять, как строится «оценка + пример».
3. Повторить признаки делимости, чётность, среднее арифметическое.
4. Если есть время — олимпиадные задачи 7–9 класса: они развивают то же мышление.

Задание 19 — про логику, а не про формулы. Такое мышление хорошо развивается в диалоге: преподаватель спрашивает «а что, если…?», ученик проверяет. В «Котангенсе» репетиторы по математике работают именно так — не дают готовых решений, а помогают найти идею. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.