Метод интервалов: как решать неравенства

Метод интервалов — универсальный способ решать неравенства, где есть произведения и дроби. Его проходят в 9 классе, а используют до самого ЕГЭ: в заданиях 13 ОГЭ и 15 ЕГЭ, в логарифмических и показательных неравенствах после замены. Разберём пошагово, как решать неравенства этим методом.

Идея

Выражение вида (x − a)(x − b)… может менять знак только в тех точках, где оно равно нулю (или не существует). Значит, если отметить эти точки на прямой, на каждом промежутке между ними знак будет постоянным. Остаётся определить знаки и выбрать нужные промежутки.

Алгоритм

1. Перенесите всё в одну сторону, чтобы справа был 0.
2. Разложите на множители числитель и знаменатель.
3. Найдите нули числителя и знаменателя.
4. Отметьте точки на прямой. Нули знаменателя — всегда выколотые (пустые кружки). Нули числителя — закрашенные, если неравенство нестрогое (≤, ≥), и выколотые, если строгое (<, >).
5. Определите знак на крайнем правом промежутке (подставьте большое число).
6. Расставьте знаки справа налево, меняя знак при переходе через каждую точку (с оговоркой о кратных корнях — ниже).
7. Выберите промежутки с нужным знаком.

Пример 1. Квадратное неравенство

x² − x − 6 < 0.

Разложим: (x − 3)(x + 2) < 0. Нули: 3 и −2 (выколотые, неравенство строгое).

Знаки: при x > 3 — плюс; между −2 и 3 — минус; при x < −2 — плюс.

Нужно < 0 → (−2; 3).

Пример 2. Дробное неравенство

(x − 1)/(x + 4) ≥ 0.

Нули: x = 1 (числитель, закрашенная), x = −4 (знаменатель, выколотая).

Знаки: x > 1 — плюс; −4 < x < 1 — минус; x < −4 — плюс.

Нужно ≥ 0 → (−∞; −4) ∪ [1; +∞).

Пример 3. Кратные корни

(x − 2)²(x + 1) > 0.

Нули: 2 (кратность 2) и −1.

При переходе через точку чётной кратности знак не меняется, через нечётную — меняется.

Знаки: x > 2 — плюс; между −1 и 2 — тоже плюс (через 2 знак не меняется); x < −1 — минус.

Нужно > 0 → (−1; 2) ∪ (2; +∞). Точка 2 выколота — в ней выражение равно 0, а нужно строго больше.

Пример 4. Множитель с минусом

(3 − x)(x + 5) ≥ 0.

Удобно сделать коэффициенты при x положительными: (3 − x) = −(x − 3). Тогда −(x − 3)(x + 5) ≥ 0 → (x − 3)(x + 5) ≤ 0 (умножили на −1, знак поменялся).

Нули: 3 и −5. Ответ: [−5; 3].

Почему не умножать на знаменатель

(x − 1)/(x + 4) ≥ 0 нельзя решать как x − 1 ≥ 0. Знак знаменателя неизвестен — при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется. Метод интервалов эту проблему снимает.

Частые ошибки

• Знаменатель закрашен. Нули знаменателя всегда выколоты — делить на ноль нельзя.
• Не перенесли всё в одну сторону: (x − 1)/(x + 4) ≥ 2 сначала превращается в ((x − 1) − 2(x + 4))/(x + 4) ≥ 0.
• Кратные корни: поменяли знак там, где не надо.
• Множитель вида (a − x): знак на крайнем промежутке определён неверно.
• Скобки в ответе: круглые и квадратные перепутаны.

Проверка

Возьмите по одной точке из каждого промежутка ответа и одну — не из ответа, подставьте в исходное неравенство. Это 1 минута, которая ловит почти все ошибки.

Метод интервалов — фундамент для ЕГЭ. Если неравенства «плывут» уже в 9 классе, задание 15 ЕГЭ будет недоступно. Репетиторы по математике в «Котангенсе» помогают отработать метод до автоматизма. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по алгебре.