Геометрия в ЕГЭ базового уровня: какие задания и как их решать

В ЕГЭ по базовой математике несколько заданий по геометрии: планиметрия (плоские фигуры) и стереометрия (объёмные тела). Для многих выпускников это самая забытая часть школьной программы — геометрию не повторяли с 9 класса. Хорошая новость: задания простые, и для них хватает небольшого набора формул. Ниже — какие задания по геометрии встречаются в ЕГЭ базового уровня и как их решать.

Точный состав заданий проверяйте в актуальной демоверсии на fipi.ru.

Какие задания встречаются

• Практическая геометрия: найти размер на плане участка или комнаты, высоту дерева по тени, расстояние по карте.
• Фигуры на клетчатой бумаге: площади треугольников, трапеций, многоугольников.
• Планиметрия: углы, стороны и площади треугольников, четырёхугольников, окружности.
• Стереометрия: объём и площадь поверхности куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара; задачи «во сколько раз изменится объём».

Формулы, которые нужны

Площади:

• Прямоугольник: S = ab.
• Квадрат: S = a².
• Треугольник: S = ½ah.
• Прямоугольный треугольник: S = ½ · катет · катет.
• Параллелограмм: S = ah.
• Трапеция: S = (a + b)/2 · h.
• Круг: S = πR².

Углы и стороны:

• Сумма углов треугольника — 180°.
• Теорема Пифагора: c² = a² + b².
• Длина окружности: L = 2πR.

Объёмы:

• Куб: V = a³.
• Прямоугольный параллелепипед: V = abc.
• Цилиндр: V = πR²h.
• Конус: V = ⅓πR²h.
• Шар: V = 4/3 · πR³.

Примеры

Пример 1. План комнаты. Комната 4,5 × 3,2 м. Сколько квадратных метров линолеума нужно?

4,5 · 3,2 = 14,4 м².

Пример 2. Лестница. Лестницу длиной 2,5 м приставили к стене, нижний конец на расстоянии 0,7 м от стены. На какой высоте верхний конец?

√(2,5² − 0,7²) = √(6,25 − 0,49) = √5,76 = 2,4 м.

Пример 3. Клетки. Треугольник с основанием 6 клеток и высотой 4 клетки (клетка 1 × 1). S = ½ · 6 · 4 = 12.

Пример 4. Объём. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда 60 × 30 × 40 см. Сколько литров воды в него помещается?

60 · 30 · 40 = 72 000 см³ = 72 л (1 л = 1000 см³).

Пример 5. Во сколько раз. Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём?

2³ = 8 раз.

Где ошибаются

• Единицы измерения: сантиметры и метры, кубические сантиметры и литры.
• Площадь треугольника — забывают ½.
• «Во сколько раз»: при увеличении размеров в k раз площадь растёт в k², объём — в k³.
• Клетчатая бумага: считают клетки «по линиям», а не промежутки.

Как подготовиться

1. Выпишите формулы выше на одну страницу.
2. Решите по 10–15 задач каждого типа из открытого банка ФИПИ.
3. Отдельно потренируйте перевод единиц.
4. Включайте геометрию в каждый вариант, который решаете.

На подготовку геометрии к базовому ЕГЭ обычно хватает 3–5 занятий. Если геометрия забыта совсем, репетитор поможет быстро восстановить нужный минимум. В «Котангенсе» подготовка к ЕГЭ по математике — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.