Последнее задание ЕГЭ базового уровня: задачи на смекалку

Последнее задание ЕГЭ по базовой математике — задача «на смекалку». Многие выпускники её пропускают, считая слишком сложной. Но формул здесь не нужно — только логика и аккуратный перебор. И сюжеты часто повторяются. Ниже — как решать последнее задание ЕГЭ базового уровня и какие задачи на смекалку встречаются чаще.

Точный формат проверяйте в актуальной демоверсии на fipi.ru.

Типичные сюжеты

Улитка на столбе

Улитка за день поднимается на столб на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота столба 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины?

Ловушка — ответить 10 (по 1 м в сутки). На самом деле: к концу 6-х суток улитка на высоте 6 м (после ночи). На 7-й день поднимется на 4 м — до 10 м, то есть до вершины.

Ответ: 7 дней.

Приём: рассмотрите последний день отдельно — в этот день улитка не сползает.

Числа

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 4, 5 и 6 даёт в остатке 2, и цифры которого записаны в порядке убывания.

Если число при делении на 4, 5 и 6 даёт остаток 2, то число − 2 делится на 4, 5 и 6, то есть на НОК(4, 5, 6) = 60. Трёхзначные числа такого вида: 122, 182, 242, 302, …, 962 (прибавляем по 60).

Проверяем, у каких цифры идут строго по убыванию: подходят 542, 842 и 962. Если в задании просят «найдите какое-нибудь такое число» — в ответ можно записать любое из них.

Приём: аккуратный перебор с проверкой условий.

Деньги и количество

В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов есть хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Груздей не больше 11 (иначе можно взять 12 груздей без рыжиков). Рыжиков не больше 19 (иначе можно взять 20 рыжиков без груздей). 11 + 19 = 30 — ровно столько грибов. Значит, 19 рыжиков.

Приём: «худший случай» — что будет, если выбирать самым неудачным образом.

Клетки и фигуры

Разрезать фигуру на части, найти количество квадратов на клетчатом поле. Нарисуйте и посчитайте аккуратно.

Переливания и взвешивания

Как с помощью двух сосудов отмерить нужное количество. Решается последовательным перебором действий — запишите каждое состояние.

Последовательности

Найдите закономерность в ряду чисел или фигур.

Приёмы рассуждения

1. Перебор — аккуратно, по порядку, ничего не пропуская.
2. Худший случай — для задач «среди любых N есть…».
3. С конца — если известен результат, а нужно найти начальное состояние.
4. Таблица — для задач с несколькими условиями (кто где живёт, кто чем занимается).
5. Чётность — иногда решает задачу сразу.
6. Рисунок — почти всегда помогает.

Стратегия на последнем задании

• Решите сначала все остальные задания.
• Оставьте на последнее задание 20–30 минут.
• Если ничего не получается — попробуйте подобрать ответ, проверив его по условию.
• Не бросайте: многие задачи решаются за 5–10 минут, если найти «ключ».

Как тренироваться

• Решите все прототипы из открытого банка ФИПИ — их несколько десятков типов.
• Для каждого запишите «ключ» — приём, который сработал.
• Решайте логические задачи и головоломки — они развивают те же навыки.

Репетиторы по математике в «Котангенсе» разбирают задачи на смекалку и учат приёмам рассуждения. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.