Пропорции: как решать и где пригодятся

Пропорции проходят в 6 классе, а пользуются ими всю жизнь: пересчитать рецепт, найти цену за килограмм, посчитать проценты, решить задачу по физике или химии. Это одна из самых «практичных» тем школьной математики. Разберёмся, как решать пропорции и где они пригодятся.

Что такое пропорция

Пропорция — равенство двух отношений:

a : b = c : d, или a/b = c/d.

Например, 2 : 3 = 4 : 6 — «два относится к трём, как четыре к шести».

a и d называют крайними членами, b и c — средними.

Основное свойство

Произведение крайних членов равно произведению средних:

a · d = b · c.

Проверка: 2 · 6 = 3 · 4 = 12 ✓.

Это свойство позволяет найти любой неизвестный член пропорции.

Как найти неизвестный член

x/5 = 12/20.

Перемножаем крест-накрест: 20x = 5 · 12 → 20x = 60 → x = 3.

Правило: неизвестный крайний член = произведение средних, делённое на известный крайний. Неизвестный средний — аналогично.

Прямая пропорциональность

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

• Чем больше товара — тем больше стоимость.
• Чем больше время (при постоянной скорости) — тем больше путь.

Пример. 3 кг яблок стоят 270 ₽. Сколько стоят 5 кг?

3 кг — 270 ₽

5 кг — x ₽

3/5 = 270/x → 3x = 1350 → x = 450 ₽.

Обратная пропорциональность

Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

• Чем больше рабочих — тем меньше времени на работу.
• Чем больше скорость — тем меньше время в пути (при том же расстоянии).

Пример. 6 рабочих выполняют заказ за 10 дней. За сколько дней выполнят 15 рабочих?

Здесь пропорцию составляем «перевёрнутой»:

6/15 = x/10 → 15x = 60 → x = 4 дня.

Проверка: рабочих стало больше в 2,5 раза — дней меньше в 2,5 раза: 10 : 2,5 = 4 ✓.

Как понять, прямая или обратная

Спросите себя: «Если одна величина вырастет, другая вырастет или уменьшится?»

• Вырастет → прямая.
• Уменьшится → обратная.

Для наглядности используйте стрелки: в прямой пропорциональности стрелки у обеих величин направлены в одну сторону, в обратной — в разные.

Пропорции и проценты

Любую задачу на проценты можно решить пропорцией.

Найдите 15% от 240.

240 — 100%

x — 15%

x = 240 · 15 / 100 = 36.

Число 45 — это 30% от какого числа?

45 — 30%

x — 100%

x = 45 · 100 / 30 = 150.

Масштаб

Масштаб 1 : 50 000 значит, что 1 см на карте = 50 000 см = 500 м на местности.

Расстояние на карте 7 см. Какое на местности? 7 · 500 = 3 500 м = 3,5 км.

Типичные ошибки

• Путают прямую и обратную пропорциональность.
• Неправильно перемножают «крест-накрест».
• Записывают величины в разном порядке слева и справа: килограммы над рублями в одной части и рубли над килограммами — в другой.
• Не проверяют ответ на здравый смысл.

Где пригодится

• Проценты (6 класс → ОГЭ → ЕГЭ).
• Задачи на движение, работу, покупки.
• Подобие треугольников (8 класс): отношения сторон.
• Физика и химия: пересчёт величин, концентрации, расчёты по уравнениям реакций.

Если ребёнок путается в пропорциях, это скажется и на математике, и на физике, и на химии. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют тему на жизненных примерах. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 6 класса.