Векторы: что это и как с ними работать

Векторы проходят в 9 классе, а в профильном ЕГЭ есть отдельное задание на векторы (задание 2). Кроме того, векторы — основа координатного метода в стереометрии и всей механики в физике. Тема несложная, если понять главную идею. Разберём, что это такое и как с ними работать.

Что такое вектор

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление. Обозначается стрелкой: вектор AB, или одной буквой со стрелкой — a.

Примеры из жизни: скорость (быстро и куда), сила (сильно и в какую сторону), перемещение.

Равные векторы — одинаковые по длине и направлению (даже если начинаются в разных точках).

Противоположные — одинаковые по длине, но противоположные по направлению.

Нулевой вектор — начало и конец совпадают.

Координаты вектора

Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то:

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) — из координат конца вычитаем координаты начала.

Пример. A(1; 2), B(4; 6). AB = (3; 4).

Длина вектора

Длина: |a| = √(x² + y²).

Для нашего примера: |AB| = √(9 + 16) = 5.

В пространстве: |a| = √(x² + y² + z²).

Сложение векторов

Правило треугольника: конец первого вектора совмещаем с началом второго. Сумма — вектор от начала первого до конца второго. AB + BC = AC.

Правило параллелограмма: векторы из одной точки; сумма — диагональ параллелограмма, построенного на них.

В координатах: складываем соответствующие координаты.

(2; 3) + (1; −5) = (3; −2).

Вычитание

a − b = a + (−b). В координатах: вычитаем координаты.

(2; 3) − (1; −5) = (1; 8).

Умножение на число

k · (x; y) = (kx; ky).

• k > 0 — направление то же, длина в k раз больше.
• k < 0 — направление противоположное.

2 · (3; −1) = (6; −2).

Скалярное произведение

Через координаты: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.

Через длины и угол: a · b = |a| · |b| · cos φ.

Пример. a = (2; 3), b = (4; −1). a · b = 8 − 3 = 5.

Угол между векторами: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).

Перпендикулярность: a ⊥ b ⇔ a · b = 0.

Пример. При каком k векторы (2; k) и (3; −6) перпендикулярны? 6 − 6k = 0 → k = 1.

Коллинеарные векторы

Лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В координатах — координаты пропорциональны:

(2; 4) и (3; 6): 2/3 = 4/6 ✓ — коллинеарны.

Где пригодится

• ЕГЭ, задание 2 — действия с векторами, длина, скалярное произведение.
• ЕГЭ, задание 14 — координатный метод в стереометрии: углы и расстояния через векторы.
• Физика: силы, скорости, перемещения — всё векторы. Сложение сил — это сложение векторов.
• Геометрия: доказательства через векторы бывают короче классических.

Типичные ошибки

• Вычитают координаты в неправильном порядке (начало минус конец).
• Путают длину и квадрат длины.
• Скалярное произведение считают как вектор.
• Не учитывают знак косинуса при тупом угле.

Как тренироваться

1. Решите 10 задач на координаты и длину.
2. 10 — на сложение и умножение на число.
3. 10 — на скалярное произведение и угол.
4. Задания 2 ЕГЭ из открытого банка ФИПИ.

Векторы удобнее понимать, когда видишь их на рисунке. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют тему на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по геометрии.