Задание 2 ЕГЭ профиль: векторы

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике — задача на векторы. Оно появилось в экзамене сравнительно недавно и для многих выпускников неожиданно: векторы проходят в 9 классе и потом почти не повторяют. Хорошая новость — набор формул небольшой, и задание решается за 2–3 минуты.

Что нужно знать

Пусть a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂).

• Сумма: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).
• Разность: a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂).
• Умножение на число: k · a = (kx₁; ky₁).
• Длина: |a| = √(x₁² + y₁²).
• Скалярное произведение: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Через угол: a · b = |a| · |b| · cos φ.
• Косинус угла: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).
• Перпендикулярность: a ⊥ b ⇔ a · b = 0.

В пространстве всё то же самое, только добавляется третья координата z.

Примеры

Пример 1. a = (3; −4), b = (1; 2). Найдите длину вектора a + b.

a + b = (4; −2). |a + b| = √(16 + 4) = √20 = 2√5 ≈ 4,47.

В ЕГЭ ответ должен быть конечной десятичной дробью или целым, поэтому вопрос был бы сформулирован иначе. Например, «найдите квадрат длины»: 20.

Пример 2. a = (2; 5), b = (−3; 4). Найдите скалярное произведение.

a · b = 2 · (−3) + 5 · 4 = −6 + 20 = 14.

Пример 3. |a| = 4, |b| = 5, угол между ними 60°. Найдите a · b.

a · b = 4 · 5 · cos 60° = 20 · 0,5 = 10.

Пример 4. a = (1; 2), b = (4; k). При каком k векторы перпендикулярны?

a · b = 4 + 2k = 0 → k = −2.

Пример 5. a = (3; 4), b = (4; 3). Найдите косинус угла между векторами.

a · b = 12 + 12 = 24. |a| = |b| = 5. cos φ = 24/25 = 0,96.

Векторы на клетчатой бумаге

Иногда векторы нарисованы на клетках. Тогда координаты — это смещение по клеткам: на сколько вправо (x) и на сколько вверх (y). Влево и вниз — отрицательные значения.

Типичные ошибки

• Путают координаты вектора и координаты точки. Вектор AB = (x_B − x_A; y_B − y_A) — из конца вычитаем начало.
• Забывают про минус в координатах при скалярном произведении.
• Путают длину вектора и её квадрат.
• Неверно считают cos известных углов: cos 60° = 0,5, cos 45° = √2/2, cos 90° = 0.

Как подготовиться

1. Выпишите все формулы на одну карточку.
2. Решите по 5 задач на каждую формулу.
3. Решите 30–40 задач 2 из открытого банка ФИПИ.

На это хватит двух-трёх вечеров — а балл получается почти гарантированный. Тема векторов понадобится и в задании 14 (стереометрия) при координатном методе.

Если векторы не проходили или забыли, репетитор объяснит их за 1–2 урока. В «Котангенсе» подготовка к ЕГЭ по профильной математике — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.