Исследование функции с помощью производной

Производная — мощный инструмент: с её помощью можно узнать о функции почти всё, не строя график по точкам. В профильном ЕГЭ это задания 8 и 12, а в задачах с параметром (18) исследование функции иногда — ключ к решению.

Главная связь: знак производной и поведение функции

• f′(x) > 0 на промежутке → функция возрастает.
• f′(x) < 0 → функция убывает.
• f′(x) = 0 (или не существует) в точке, и знак меняется → экстремум.

Смена знака:

• с «+» на «−» — максимум (функция росла, потом стала убывать — вершина «горки»);
• с «−» на «+» — минимум («дно ямы»).

Если производная равна нулю, но знак не меняется — экстремума нет (например, y = x³ в точке 0).

Схема исследования

1. Область определения.
2. Производная.
3. Критические точки — где f′(x) = 0 или не существует.
4. Знаки производной на промежутках между критическими точками (метод интервалов).
5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
6. Значения функции в точках экстремума.
7. (Если нужно) — график.

Пример

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.

1. Область определения — все x.
2. f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).
3. Критические точки: x = −1, x = 3.
4. Знаки f′: при x < −1 — плюс (подставим −2: 3 · (−5) · (−1) = 15 > 0), при −1 < x < 3 — минус, при x > 3 — плюс.
5. Возрастает на (−∞; −1] и [3; +∞), убывает на [−1; 3]. Максимум при x = −1, минимум при x = 3.
6. f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Алгоритм:

1. Найти критические точки на отрезке.
2. Посчитать значения функции в этих точках и на концах отрезка.
3. Выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 на [0; 4].

• Критические точки: −1 (не на отрезке), 3 (на отрезке).
• f(0) = 5, f(3) = −22, f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15.
• Наибольшее: 5 (в точке 0). Наименьшее: −22 (в точке 3).

Важно: экстремум и наибольшее значение — не одно и то же. Наибольшее значение может быть на конце отрезка.

Функции с e и ln

f(x) = x · eˣ.

f′(x) = eˣ + x · eˣ = eˣ(1 + x). eˣ > 0, знак определяется (1 + x). Минимум при x = −1.

f(x) = x − ln x (x > 0).

f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. На (0; 1) — минус, на (1; +∞) — плюс. Минимум при x = 1, f(1) = 1.

Чтение графика производной

Если дан график f′(x) (задание 8 ЕГЭ):

• где график выше оси x — f возрастает;
• где ниже — убывает;
• где пересекает ось x со сменой знака — экстремум.

Не путайте с графиком самой функции.

Типичные ошибки

• Ошибки в вычислении производной.
• Точка, где f′ = 0, но знак не меняется, принимается за экстремум.
• Забывают проверить концы отрезка.
• Путают точку экстремума (x) и значение экстремума (f(x)).
• Не учитывают область определения (ln x — только x > 0).

Как тренироваться

1. Отработайте производные: многочлены, корни, e, ln, тригонометрия, произведение, частное.
2. Исследуйте 10 функций по полной схеме.
3. Решите задания 8 и 12 ЕГЭ.

Исследование функции понятно, когда видишь график и связь со знаками производной. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют это на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по теме «производная».