Задание 12 ЕГЭ профиль: наибольшее и наименьшее значение функции

Задание 12 профильного ЕГЭ по математике — исследование функции с помощью производной. Нужно найти точку максимума (минимума) или наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке. Это последнее задание первой части, и оно требует уверенного взятия производных.

Таблица производных (минимум)

• (c)′ = 0
• (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
• (√x)′ = 1/(2√x)
• (eˣ)′ = eˣ
• (ln x)′ = 1/x
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
• (uv)′ = u′v + uv′
• (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
• (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Тип 1. Точка максимума или минимума

Алгоритм:

1. Найдите производную.
2. Приравняйте к нулю, найдите критические точки.
3. Определите знаки производной на промежутках.
4. Смена знака с + на − — максимум, с − на + — минимум.

Пример. Найдите точку максимума y = x³ − 12x + 7.

y′ = 3x² − 12 = 0 → x = ±2.

Знаки y′: при x < −2 — плюс, между −2 и 2 — минус, при x > 2 — плюс.

Максимум в точке x = −2.

Внимание: спрашивают точку (x), а не значение функции.

Тип 2. Наибольшее/наименьшее значение на отрезке

Алгоритм:

1. Найдите производную и критические точки.
2. Оставьте только те, что лежат на отрезке.
3. Посчитайте значение функции в этих точках и на концах отрезка.
4. Выберите наибольшее (наименьшее).

Пример. Найдите наименьшее значение y = x³ − 3x² + 2 на отрезке [1; 4].

y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 → x = 0 или x = 2. На отрезке только x = 2.

• y(1) = 1 − 3 + 2 = 0
• y(2) = 8 − 12 + 2 = −2
• y(4) = 64 − 48 + 2 = 18

Наименьшее: −2.

Приём: «некрасивые» концы

Часто на концах отрезка получаются значения с e или π — например, y(0) = e² или y(π/2) = π/4 + 1. Ответ в ЕГЭ — конечная десятичная дробь, поэтому такие значения ответом быть не могут. Можно не считать их точно, а сразу смотреть на «красивую» критическую точку. Но лучше всё-таки убедиться через знаки производной, что это действительно нужный экстремум.

Пример с корнем. Найдите наибольшее значение y = 12x − 8x√x + 1 (то есть 12x − 8x^(3/2) + 1) на отрезке [0; 4].

y′ = 12 − 12x^(1/2) = 0 → √x = 1 → x = 1.

y(1) = 12 − 8 + 1 = 5. y(0) = 1, y(4) = 48 − 64 + 1 = −15. Наибольшее: 5.

Функции с e и ln

Пример. Найдите точку минимума y = (x − 3)eˣ.

y′ = eˣ + (x − 3)eˣ = (x − 2)eˣ. eˣ > 0, поэтому знак y′ — как у (x − 2). Смена − на + в точке x = 2. Минимум в точке 2.

Типичные ошибки

• Ошибки в производной (особенно произведения и сложной функции).
• Забыли проверить концы отрезка.
• Записали значение функции вместо точки (или наоборот).
• Взяли критическую точку, которая не лежит на отрезке.

Как подготовиться к заданию 12

1. Отработать таблицу производных и правила до автоматизма — 30–40 примеров.
2. Решить прототипы задания 12 из открытого банка ФИПИ по типам: многочлены, корни, e, ln, тригонометрия.
3. В каждой задаче писать вопрос отдельно: «точка» или «значение».

Задание 12 — самое «вузовское» в первой части. Оно требует понимания, что такое производная, а не только формул. Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет разобраться, почему алгоритм работает, — так он запоминается навсегда. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.