Задание 11 ЕГЭ профиль: графики функций

В задании 11 профильного ЕГЭ по математике дан график функции, у которого известен вид формулы, но неизвестны коэффициенты. Нужно по точкам на графике найти коэффициенты, а затем — значение функции в точке или координату точки пересечения.

Общий приём

1. Определите вид функции по форме графика (или по формуле в условии).
2. Найдите на графике точки, которые лежат в узлах сетки.
3. Подставьте их координаты в формулу — получите систему уравнений на коэффициенты.
4. Найдите коэффициенты и ответьте на вопрос.

Линейная функция f(x) = kx + b

График проходит через (−1; 4) и (2; −2).

k = (−2 − 4)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2. b: 4 = −2 · (−1) + b → b = 2.

f(x) = −2x + 2. Например, f(10) = −18.

Две прямые пересекаются. Найдите обе формулы и приравняйте: k₁x + b₁ = k₂x + b₂.

Парабола f(x) = ax² + bx + c

Удобно использовать вершину: f(x) = a(x − x₀)² + y₀.

Пусть вершина (1; −3), и парабола проходит через (3; 5). 5 = a · 4 − 3 → a = 2. f(x) = 2(x − 1)² − 3.

Найти f(−2): 2 · 9 − 3 = 15.

Гипербола f(x) = k/x + a или k/(x + b)

Асимптоты видны на графике: вертикальная x = −b, горизонтальная y = a. Затем k находим по одной точке.

Пусть горизонтальная асимптота y = 2, вертикальная x = 0, график проходит через (1; 5). f(x) = k/x + 2 → 5 = k + 2 → k = 3.

При каком x f(x) = 2,5? 3/x + 2 = 2,5 → x = 6.

Корень f(x) = k√x

График проходит через (4; 6). 6 = k · 2 → k = 3. f(16) = 12.

Показательная f(x) = aˣ + b

Горизонтальная асимптота y = b. Точка на графике даёт a.

Пусть асимптота y = −1, график проходит через (2; 8). a² − 1 = 8 → a = 3. f(3) = 26.

Логарифмическая f(x) = log_a(x + b)

Вертикальная асимптота x = −b. Точка даёт основание.

Пусть асимптота x = −2, график проходит через (2; 2). log_a(4) = 2 → a = 2. f(14) = log₂ 16 = 4.

Тригонометрическая f(x) = a cos x + b

Максимум a + b, минимум −a + b (при a > 0). Например, максимум 3, минимум −1 → a = 2, b = 1.

Типичные ошибки

• Берут точки не в узлах сетки — координаты читаются неточно.
• Путают знак сдвига: в (x − 2)² вершина при x = +2.
• Ошибаются при решении системы.
• Не проверяют: найдя формулу, подставьте ещё одну точку с графика — она должна подойти.

Как подготовиться к заданию 11

1. Повторить вид графиков всех основных функций.
2. Разобрать задания 11 из открытого банка ФИПИ по видам функций.
3. Каждый раз проверять формулу третьей точкой.

Задание 11 хорошо показывает, понимает ли ученик функции как «живые» объекты, а не как набор формул. Это понимание нужно и для задания 18 (параметры). Репетитор по математике в «Котангенсе» поможет выстроить его на графиках — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.