Задание 11 ОГЭ по математике: графики функций и коэффициенты

В задании 11 ОГЭ по математике нужно установить соответствие между графиками функций и формулами (или знаками коэффициентов). Даны три графика — А, Б, В — и формулы под номерами. Ответ — последовательность из трёх цифр.

Чтобы решать это задание уверенно, нужно знать, как выглядят три вида графиков и как коэффициенты влияют на их положение.

Линейная функция y = kx + b

График — прямая.

• k > 0 — прямая возрастает (идёт снизу вверх слева направо).
• k < 0 — прямая убывает.
• b — точка пересечения с осью y. b > 0 — выше нуля, b < 0 — ниже.
• Чем больше |k|, тем круче прямая.

Пример. Прямая убывает и пересекает ось y выше нуля → k < 0, b > 0.

Квадратичная функция y = ax² + bx + c

График — парабола.

• a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз.
• c — точка пересечения с осью y.
• Вершина: x₀ = −b / (2a).
• Если парабола не пересекает ось x — уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет корней (D < 0).

Знак b определяют через вершину: x₀ = −b/(2a). Если ветви вверх (a > 0) и вершина правее оси y (x₀ > 0), то −b > 0, то есть b < 0.

Обратная пропорциональность y = k/x

График — гипербола из двух ветвей.

• k > 0 — ветви в I и III четвертях (справа вверху и слева внизу).
• k < 0 — ветви во II и IV четвертях.

Как решать

1. Определите вид каждого графика: прямая, парабола или гипербола.
2. Отсеките явно неподходящие формулы. Если график — гипербола, подходит только формула вида y = k/x.
3. Используйте ключевые точки. Пересечение с осью y (подставьте x = 0), направление ветвей, четверти.
4. Проверьте одну точку с графика. Если график проходит через (1; 3), подставьте x = 1 в формулу — должно получиться 3.

Пример. Даны формулы: 1) y = 2x + 1; 2) y = −x² + 2; 3) y = −4/x. Графики: А — гипербола во II и IV четвертях, Б — возрастающая прямая, В — парабола ветвями вниз.

• А — гипербола с k < 0 → формула 3.
• Б — прямая с k > 0 → формула 1.
• В — парабола с a < 0 → формула 2.

Ответ: 312.

Вариант задания: знаки коэффициентов

Иногда вместо формул даны условия вроде «k > 0, b < 0». Тогда:

• Возрастает и пересекает ось y ниже нуля → k > 0, b < 0.
• Убывает и пересекает ось y выше нуля → k < 0, b > 0.

Для парабол: «a > 0, c < 0» — ветви вверх, пересечение с осью y ниже нуля.

Типичные ошибки

• Путают «возрастает» и «убывает»: смотреть нужно слева направо, как читаем.
• Определяют b по точке пересечения с осью x, а не с осью y.
• Путают четверти координатной плоскости. Напоминание: I — правый верхний угол, дальше против часовой стрелки.
• Записывают ответ в неправильном порядке: сначала цифра для А, потом для Б, потом для В.

Как подготовиться

1. Нарисуйте от руки 5–6 прямых с разными k и b — и посмотрите, как они меняются.
2. То же самое для парабол: y = x², y = −x², y = x² + 3, y = (x − 2)².
3. Две гиперболы: y = 2/x и y = −2/x.
4. Решите 15–20 заданий 11 из открытого банка ФИПИ.

Понимание графиков потом понадобится в задании 22 (построение графика), а в старших классах — в теме производной. Если ребёнок «не видит» графики, это хорошо исправляется с преподавателем, который рисует вместе с ним на доске.

В «Котангенсе» репетиторы по математике работают онлайн на интерактивной доске: можно строить графики вместе в реальном времени. От 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.