Линейная функция и её график: k и b простыми словами

Если простыми словами, линейная функция — первая функция, которую изучают в школе (7 класс). Её график — прямая. Тема встречается в ОГЭ (задания 11 и 22), в физике (равномерное движение) и как основа для всех остальных функций.

Формула

y = kx + b

• x — аргумент (независимая переменная);
• y — значение функции;
• k — угловой коэффициент;
• b — свободный член.

Что значит k

k показывает наклон прямой.

• k > 0 — прямая возрастает (идёт снизу вверх слева направо).
• k < 0 — прямая убывает.
• k = 0 — прямая горизонтальна: y = b.
• Чем больше |k|, тем круче прямая.

Смысл: на сколько изменится y, если x увеличить на 1. При k = 2: x увеличили на 1 — y вырос на 2.

Что значит b

b — точка пересечения с осью y (значение y при x = 0).

• y = 2x + 3: пересекает ось y в точке (0; 3).
• y = 2x − 1: в точке (0; −1).
• y = 2x: проходит через начало координат.

Как построить график

Прямая задаётся двумя точками. Возьмите два удобных x, посчитайте y.

Пример. y = 2x − 1.

• x = 0 → y = −1. Точка (0; −1).
• x = 2 → y = 3. Точка (2; 3).

Отметьте точки и проведите через них прямую.

Для проверки можно взять третью точку: x = 1 → y = 1. Точка (1; 1) должна лежать на прямой.

Как найти формулу по графику

1. b — точка пересечения с осью y.
2. k — возьмите две точки на прямой (лучше в узлах сетки): k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Пример. Прямая проходит через (0; 1) и (2; 5). b = 1. k = (5 − 1)/(2 − 0) = 2. y = 2x + 1.

Взаимное расположение прямых

• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ — прямые параллельны: y = 2x + 1 и y = 2x − 3.
• k₁ ≠ k₂ — прямые пересекаются.
• k₁ = k₂, b₁ = b₂ — прямые совпадают.

Точка пересечения — решение системы: приравнять правые части.

y = 2x + 1 и y = −x + 7: 2x + 1 = −x + 7 → x = 2, y = 5. Точка (2; 5).

Частные случаи

• y = kx (b = 0) — прямая пропорциональность, проходит через начало координат.
• y = b (k = 0) — горизонтальная прямая.
• x = a — вертикальная прямая (это не функция y от x).

Где встречается

• ОГЭ, задание 11 — соответствие графиков и формул, знаки k и b.
• ОГЭ, задание 22 — графики, составленные из линейных частей.
• Физика: x = x₀ + vt — равномерное движение. v — это k, x₀ — это b.
• Жизнь: стоимость такси = посадка + цена за км · расстояние.

Типичные ошибки

• Путают k и b.
• Неправильно определяют знак k по графику (смотреть слева направо!).
• Ошибаются в вычислении y для отрицательного x.
• Строят по одной точке.

Как тренироваться

1. Постройте 10 прямых с разными k и b — посмотрите, как они меняются.
2. Найдите формулы 10 прямых по графикам.
3. Задания 11 ОГЭ.

Линейная функция понятна, когда видишь, как меняется прямая при изменении k и b. Репетиторы по математике в «Котангенсе» показывают это на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 7 класса.