Задание 22 ОГЭ по математике: построение графика функции с параметром

Задание 22 ОГЭ по математике считается одним из самых сложных во второй части. Нужно построить график функции и ответить на вопрос: при каких значениях параметра (обычно m или k) прямая имеет с графиком ровно одну (две, три) общие точки. Максимум — 2 балла.

Решают его немногие, но для тех, кто целится на пятёрку, задание вполне подъёмное: типов всего несколько.

Типичная структура

1. Дана функция, которую нужно упростить: дробь сокращается, модуль раскрывается, функция задана по частям.
2. Строим график с учётом выколотых точек и областей определения.
3. Находим значения параметра, при которых прямая y = m (горизонтальная) или y = kx (через начало координат) пересекает график нужное число раз.

Пример 1. Дробь с выколотой точкой

Постройте график функции y = (x² − 4)/(x − 2) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Область определения: x ≠ 2.

Упрощаем: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 при x ≠ 2.

График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой при x = 2, то есть (2; 4).

Горизонтальная прямая y = m пересекает прямую y = x + 2 всегда, кроме случая, когда она проходит ровно через выколотую точку: m = 4.

Ответ: m = 4.

Пример 2. Кусочная функция

Постройте график функции y = x² − 4x + 3 при x ≥ 1 и y = x − 1 при x < 1. При каких m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки?

• При x < 1: луч прямой y = x − 1, идёт из −∞ к точке (1; 0), не включая её.
• При x ≥ 1: парабола y = (x − 2)² − 1, вершина (2; −1), в точке x = 1 значение 0. Значит, точка (1; 0) включена.

График: луч снизу-слева подходит к (1; 0), затем парабола опускается до вершины (2; −1) и уходит вверх.

Считаем пересечения для разных m:

• m < −1: луч пересекает 1 раз, парабола (при x ≥ 1) — 0 раз → всего 1.
• m = −1: луч 1 раз + вершина параболы 1 раз → 2.
• −1 < m < 0: луч 1 раз + парабола 2 раза (обе ветви справа от x = 1) → 3.
• m = 0: луч не достигает 0 (точка (1; 0) не его), парабола даёт x = 1 и x = 3 → 2.
• m > 0: луч не достигает, парабола справа — 1 раз → 1.

Ответ: m = −1 или m = 0.

Пример 3. Модуль

y = x² − 2|x|. При x ≥ 0: y = x² − 2x, при x < 0: y = x² + 2x. График симметричен относительно оси y, похож на букву W: минимумы в (±1; −1), локальный максимум в (0; 0).

Прямая y = m имеет ровно три общие точки при m = 0 (проходит через «горб» и пересекает две ветви).

Как оформлять

1. Найти область определения.
2. Упростить функцию с указанием условий (x ≠ 2).
3. Аккуратно построить график: отметить вершины, точки пересечения с осями, выколотые точки (пустым кружком).
4. Объяснить, как ищется ответ: «прямая y = m горизонтальна; ровно две общие точки при…».
5. Записать ответ.

2 балла — график построен верно и верно найдены искомые значения параметра. 1 балл — график построен верно, но ответ найден неверно или неполно. Значит, даже без ответа аккуратный график даёт 1 балл.

Типичные ошибки

• Забыли выколоть точку после сокращения дроби.
• Неверно нашли вершину параболы.
• Не проверили граничные значения параметра (m ровно на уровне вершины или выколотой точки).
• Построили «на глаз» без таблицы значений.

Как подготовиться

Задание 22 требует уверенного знания графиков из задания 11: прямая, парабола, гипербола. Затем:

1. Научиться сокращать дроби и находить выколотые точки.
2. Строить кусочные функции.
3. Раскрывать модуль.
4. Разобрать 15–20 заданий 22 из открытого банка ФИПИ, обязательно с рисунком.

Это задание лучше разбирать с преподавателем, который рисует вместе с учеником: двигаешь прямую y = m вверх-вниз — и сразу видно, сколько точек пересечения. В «Котангенсе» занятия идут на интерактивной доске, где это делается наглядно. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ОГЭ по математике.