Задание 8 ЕГЭ профиль: производная и первообразная по графику

Задание 8 профильного ЕГЭ по математике проверяет понимание смысла производной и первообразной. Дан график — функции или её производной — и вопрос: найти значение производной в точке, количество точек экстремума, промежутки возрастания и т. д. Считать почти ничего не нужно, главное — правильно «читать» график.

Главное различие: график f(x) или f′(x)?

Это первое, что нужно проверить в условии. Половина ошибок — от того, что ученик читает график производной как график функции.

Если дан график функции f(x):

• f′(x) > 0 там, где функция возрастает.
• f′(x) < 0 там, где функция убывает.
• f′(x) = 0 в точках максимума и минимума (вершины «горок» и «ям»).

Если дан график производной f′(x):

• Функция возрастает там, где график f′ выше оси x.
• Функция убывает там, где график f′ ниже оси x.
• Точки экстремума — где f′ пересекает ось x (меняет знак). Из минуса в плюс — минимум, из плюса в минус — максимум.

Геометрический смысл производной

f′(x₀) = tg α = k — угловой коэффициент касательной к графику в точке x₀.

Пример. На графике проведена касательная в точке x₀. Касательная проходит через узлы сетки (−2; 1) и (2; 7). Найдите f′(x₀).

k = (7 − 1)/(2 − (−2)) = 6/4 = 1,5.

Если касательная идёт вниз слева направо — производная отрицательная. Не забывайте знак.

Примеры с графиком производной

Пример. На рисунке график f′(x) на интервале (−6; 8). Он пересекает ось x в точках −4, 1, 5. Между −6 и −4 график ниже оси, от −4 до 1 — выше, от 1 до 5 — ниже, от 5 до 8 — выше.

• Точки минимума (смена − на +): −4 и 5.
• Точка максимума (смена + на −): 1.
• Промежутки возрастания: (−4; 1) и (5; 8).

Если спрашивают «в какой точке отрезка [−3; 0] функция принимает наибольшее значение» — на этом отрезке f′ > 0, функция возрастает, значит, наибольшее значение в правом конце: 0.

Касательная параллельна прямой

Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y = 2x − 5.

Параллельна → угловой коэффициент равен 2 → f′(x) = 2. Если дан график f′(x), считайте, сколько раз он пересекает горизонтальную прямую y = 2.

Физический смысл

Если x(t) — координата точки, то x′(t) = v(t) — скорость. Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 4t + 3. В какой момент её скорость равна 6?

v(t) = 2t − 4 = 6 → t = 5.

Первообразная

Если F′(x) = f(x), то F — первообразная f.

• Площадь под графиком f на отрезке [a; b] (если f ≥ 0) равна F(b) − F(a).
• Если дан график F(x), то f(x) > 0 там, где F возрастает.

Пример. F(x) — первообразная f(x). F(5) = 12, F(2) = 3. Найдите площадь под графиком f на [2; 5].

S = 12 − 3 = 9.

Типичные ошибки

• Читают график f′ как график f.
• Знак производной при убывающей касательной.
• Считают точки экстремума там, где f′ касается оси, но не меняет знак.
• Путаются в концах интервала: точки на концах — не экстремумы.

Как подготовиться

1. Сформулируйте для себя 6 правил выше и держите их перед глазами.
2. Решите все прототипы задания 8 из открытого банка ФИПИ — их около десятка видов.
3. Каждый раз первым делом подписывайте: «это график f» или «это график f′».

Понимание производной пригодится в задании 12 (наибольшее и наименьшее значение) и в задачах второй части. Если производная — «тёмный лес», репетитор объяснит её смысл на картинках, без зубрёжки. В «Котангенсе» подготовка к профильному ЕГЭ — онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице подготовки к ЕГЭ по математике.