Квадратичная функция: как строить параболу

Квадратичная функция и её график — парабола — центральная тема алгебры 9 класса. Она встречается в ОГЭ (задания 11 и 22), в ЕГЭ, в физике (траектория брошенного тела) и во многих задачах. Понять, как строить параболу быстро и точно, несложно, если действовать по алгоритму.

Что такое квадратичная функция

y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.

График — парабола.

Влияние коэффициентов

a — направление и «ширина»:

• a > 0 — ветви вверх;
• a < 0 — ветви вниз;
• чем больше |a|, тем «уже» парабола; чем меньше — тем «шире».

c — точка пересечения с осью y: при x = 0 y = c.

b вместе с a определяет положение вершины: x₀ = −b/(2a).

Алгоритм построения

1. Направление ветвей — по знаку a.

2. Вершина:

• x₀ = −b / (2a);
• y₀ = подставить x₀ в формулу.

3. Ось симметрии — вертикальная прямая x = x₀.

4. Пересечение с осью y — точка (0; c).

5. Пересечение с осью x — корни уравнения ax² + bx + c = 0 (если есть).

6. Ещё 2–4 точки — по таблице значений, симметрично относительно оси.

7. Провести плавную кривую.

Пример

y = x² − 4x + 3.

1. a = 1 > 0 — ветви вверх.
2. x₀ = 4 / 2 = 2; y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1).
3. Ось симметрии x = 2.
4. С осью y: (0; 3).
5. С осью x: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1, x = 3. Точки (1; 0), (3; 0).
6. Симметричная точке (0; 3): (4; 3).

Строим: вершина (2; −1), точки (1; 0), (3; 0), (0; 3), (4; 3).

Вид через вершину

y = a(x − x₀)² + y₀ — удобная запись, сразу видна вершина.

y = (x − 2)² − 1 — то же самое, что x² − 4x + 3.

Сдвиги графика y = x²:

• y = (x − m)² — сдвиг вправо на m (при m > 0);
• y = x² + n — сдвиг вверх на n;
• y = −x² — отражение относительно оси x.

Как читать график

• Нули функции — где парабола пересекает ось x.
• Промежутки знакопостоянства — где график выше оси x (y > 0) и ниже (y < 0).
• Возрастание и убывание — при a > 0 функция убывает левее вершины и возрастает правее.
• Наименьшее (наибольшее) значение — y₀ в вершине.

Связь с уравнениями и неравенствами

• Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — точки пересечения с осью x.
• Решение неравенства ax² + bx + c > 0 — где парабола выше оси x.
• Число корней по графику: пересекает ось x в двух точках (D > 0), касается (D = 0), не пересекает (D < 0).

Типичные ошибки

• Неверный знак в формуле вершины: x₀ = −b/(2a), а не b/(2a).
• Путают сдвиг: y = (x − 2)² — вершина при x = +2.
• Строят «на глаз» без таблицы — парабола получается кривой.
• Рисуют «галочку» вместо плавной кривой.

Как тренироваться

1. Постройте y = x², y = 2x², y = 0,5x², y = −x² — посмотрите, как меняется форма.
2. Постройте y = (x − 3)², y = x² + 2, y = (x + 1)² − 4 — посмотрите сдвиги.
3. Постройте 5–10 парабол по алгоритму.
4. Решите задания 11 ОГЭ на соответствие графиков и формул.

Парабола лучше всего понимается, когда видишь, как она «двигается» при изменении коэффициентов. Репетиторы по математике в «Котангенсе» строят графики вместе с учеником на интерактивной доске. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 9 класса.