Квадратные корни: свойства и преобразования

Квадратные корни появляются в 8 классе и сразу становятся нужны везде: в теореме Пифагора, квадратных уравнениях, геометрии, физике. Многие ошибки с корнями возникают из-за того, что свойства применяют «как кажется логичным», а не как они работают на самом деле. Ниже — свойства корней и преобразования с ними.

Что такое квадратный корень

Арифметический квадратный корень из числа a (a ≥ 0) — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

√25 = 5, потому что 5² = 25 и 5 ≥ 0.

Важно:

• корень из отрицательного числа (в школьной программе) не существует;
• результат всегда ≥ 0: √25 = 5, а не ±5.

Уравнение x² = 25 имеет два корня (±5), а √25 — одно число (5). Это разные вещи.

Свойства

1. Корень из произведения: √(ab) = √a · √b (a, b ≥ 0).

√(4 · 9) = 2 · 3 = 6.

2. Корень из частного: √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0).

√(16/25) = 4/5.

3. Квадрат корня: (√a)² = a (a ≥ 0).

4. Корень из квадрата: √(a²) = |a|.

√((−3)²) = |−3| = 3.

Внимание: √(a + b) ≠ √a + √b. √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.

Вынесение множителя из-под корня

Разложите подкоренное число на множители, один из которых — полный квадрат.

√72 = √(36 · 2) = 6√2.

√50 = √(25 · 2) = 5√2.

√(18a²) = 3|a|√2.

Внесение множителя под корень

Возведите множитель в квадрат и внесите.

3√2 = √(9 · 2) = √18.

Полезно для сравнения: что больше, 3√5 или 5√2? 3√5 = √45, 5√2 = √50. √50 > √45, значит, 5√2 больше.

Действия с корнями

Сложение и вычитание — только подобных (с одинаковым подкоренным выражением):

3√2 + 5√2 = 8√2.

√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.

Умножение:

√3 · √12 = √36 = 6.

(2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1.

Возведение в квадрат:

(√5 + 1)² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Знаменатель √a — умножить числитель и знаменатель на √a:

6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

Знаменатель a + √b — умножить на сопряжённое (a − √b):

1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/((√5 − 2)(√5 + 2)) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2.

Оценка корней

Между какими целыми лежит √40? 36 < 40 < 49 → 6 < √40 < 7.

Это нужно в задании 7 ОГЭ (числа на прямой).

Типичные ошибки

1. √(a + b) = √a + √b — неверно.
2. √25 = ±5 — неверно, арифметический корень неотрицателен.
3. Складывают неподобные: √2 + √3 ≠ √5.
4. √(a²) = a — забывают модуль, если a может быть отрицательным.
5. Ошибки при вынесении: √72 = 2√18 — верно, но не до конца. Выносите наибольший квадрат: 6√2.

Полезно знать наизусть

Квадраты чисел от 1 до 20: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Корни: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24.

Если корни «не идут», это скажется на квадратных уравнениях, геометрии и ОГЭ. Репетиторы по математике в «Котангенсе» объясняют тему понятно и тренируют до уверенности. Онлайн, от 800 ₽ за урок. Подробнее — на странице репетитора по математике для 8 класса.